Bestämma största/minsta värde genom att undersöka randpunkter och inre kritiska punkter (flervarre)

a) uppgiften är en uppgift som bygger på att du ska tillämpa en välkänd sats som säger ungefär så här

Varje kontinuerlig skalär funktion $f$ med kompakt definitionsmängd $M$ har ett största- och ett minsta värde på $M$.

Din första uppgift blir därför att försöka lokalisera satsen i din lärobok samt kontrollera att satsens förutsättningar är uppfyllda. Att en mängd $M$ är kompakt innebär att den är sluten och begränsad.

På uppgift b) är det lämpligt att bestämma eventuella stationära punkter med hjälp av gradientens nollställen $\nabla f=0$ samt undersöka randen till området, t.ex. med en parametrisering av cirkeln ellipsen.

D4NIEL skrev:

a) uppgiften är en uppgift som bygger på att du ska tillämpa en välkänd sats som säger ungefär så här

Varje kontinuerlig skalär funktion $f$ med kompakt definitionsmängd $M$ har ett största- och ett minsta värde på $M$.

Din första uppgift blir därför att försöka lokalisera satsen i din lärobok samt kontrollera att satsens förutsättningar är uppfyllda. Att en mängd $M$ är kompakt innebär att den är sluten och begränsad.

På uppgift b) är det lämpligt att bestämma eventuella stationära punkter med hjälp av gradientens nollställen $\nabla f=0$ samt undersöka randen till området, t.ex. med en parametrisering av cirkeln ellipsen.

---

Hur ska man tolka parametriseringen? Jag får x= 3cos(t) och y=$\sqrt{3}$sin(t). Det står att max är 18 och min är -9/4 (fick värdet när jag satte nollställen för gradienten i ekvationen). Hur får man fram att max är 18?

Parametriserinen är den röda kurvan i grafen

De gröna punkterna är de punkter där funktionen $g(x,y)$ antar sina max- respektive minvärden.

Du har redan hittat en av punkterna, minvärdet som antas för $x=3/2,\, y=0$, då $g(3/2,0)=-9/4$.

Den andra punkten är maxvärdet. Eftersom maxvärdet antas på randen kommer vi inte hitta det när vi sätter gradienten till noll, den metoden hittar bara extrempunkter inom området (inte på kanten till området).

Din uppgift nu är att undersöka alla punkter på den röda kurvan (kanten till området). Dvs du vill undersöka alla värden $g(x,y)$ som ligger på den röda linjen.

Den röda kurvan har du parametriserat till

$x=3\cos(t)$

$\sqrt3\sin(t)$

Du kan sätta in dessa uttryck för $x,y$ i din funktion $g(x,y)=x^2-3x+3y^3$. Du får då en funktion i din nya parameter $t$

Sök sedan max/min av $g(t)$ genom att studera $g^\prime(t)=0$. Du bör då hitta den andra gröna punkten (den längst till vänster i bilden). Tips: använd gärna förenklingen $\cos^2(t)+\sin^2(t)=1$ om det skulle dyka upp i uttrycket någonstans på vägen.