Bestämma randvillkor för balkböjning

Här är det nog bäst att reda ut några saker. Elastiska linjens ekvation beskriver balkens respons på en yttre last vilket gör att:

$T\left(x\right)=EIw\text{'}\text{'}\text{'}\left(x\right)$

Detta betyder alltså att tvärkraften inuti balken kan relateras till tredjederivatan av nedböjningen enligt denna differentialekvation. Om vi nu tittar på din snittning så har du med en kraft q(L) som pekar uppåt men q(x) är en lastintensitet med enhet [N/m]. Därmed är din jämviktsekvation väldigt fel då du likställer helt olika storheter med varandra. Dessutom skulle du inte kunna ha en lastintensitet i en punkt eftersom den är lika med noll om den inte har någon bredd. Till slut så tycker jag att fjäderkraften pekar åt fel håll eftersom i elastiska linjens ekvation är positiv nedböjning nedåt vilket gör att den ska peka uppåt (fjädern är intryckt). Detta kan dock skilja sig mellan definitioner och det kan vara annorlunda i din kursbok.

Det blir hursomhelst följande jämviktsekvation:

$T\left(L\right)-Sw\left(L\right)=0$

Vilket ger följande randvillkor:

$w\text{'}\text{'}\text{'}\left(L\right)-\frac{S}{EI}w\left(L\right)=0$

Ebola skrev:

Här är det nog bäst att reda ut några saker. Elastiska linjens ekvation beskriver balkens respons på en yttre last vilket gör att:

$T\left(x\right)=EIw\text{'}\text{'}\text{'}\left(x\right)$

Detta betyder alltså att tvärkraften inuti balken kan relateras till tredjederivatan av nedböjningen enligt denna differentialekvation. Om vi nu tittar på din snittning så har du med en kraft q(L) som pekar uppåt men q(x) är en lastintensitet med enhet [N/m]. Därmed är din jämviktsekvation väldigt fel då du likställer helt olika storheter med varandra. Dessutom skulle du inte kunna ha en lastintensitet i en punkt eftersom den är lika med noll om den inte har någon bredd. Till slut så tycker jag att fjäderkraften pekar åt fel håll eftersom i elastiska linjens ekvation är positiv nedböjning nedåt vilket gör att den ska peka uppåt (fjädern är intryckt). Detta kan dock skilja sig mellan definitioner och det kan vara annorlunda i din kursbok.

Det blir hursomhelst följande jämviktsekvation:

$T\left(L\right)-Sw\left(L\right)=0$

Vilket ger följande randvillkor:

$w\text{'}\text{'}\text{'}\left(L\right)-\frac{S}{EI}w\left(L\right)=0$

Tack så mycket var väldigt förvirrad kring om hur lastintensiteten skulle behandlas i jämviktsekvationen. Hur kommer det sig att man kan "ignorera" den?

I vår kurslitteratur ger positiv utböjning att fjäderkraften är riktad neråt. Det står dessutom att

$T\left(x\right)=-EIw\text{'}\text{'}\text{'}\left(x\right)$

Dessa två skillnader tillsammans ger att vi får samma resultat.

Du ignorerar den inte men i detta fall är lastintensiteten noll för alla x. Du kan betrakta det på lite olika sätt, antingen genom att du vet från din snittning att tvärkraften är konstant $T=Sw\left(L\right)$ vilket ger att:

$q\left(x\right)=\frac{dT\left(x\right)}{dx}=0$

Eller så kan du titta på slutliga resultatet för nedböjningen och derivera det fyra gånger:

$$\begin{gathered} w\left(x\right)=\frac{Sw\left(L\right)}{EI}(\frac{1}{6}{x}^3-\frac{L}{2}{x}^2) \\ w\text{'}\left(x\right)=\frac{Sw\left(L\right)}{EI}(\frac{1}{2}{x}^2-Lx) \\ w\text{'}\text{'}\left(x\right)=\frac{Sw\left(L\right)}{EI}(x-L) \\ w\text{'}\text{'}\text{'}\left(x\right)=\frac{Sw\left(L\right)}{EI} \\ w\text{'}\text{'}\text{'}\text{'}\left(x\right)=0 \end{gathered}$$

Vi vet att $EIw\text{'}\text{'}\text{'}\text{'}\left(x\right)=q\left(x\right)$ så lastintensiteten är noll för alla x.

Edit: Ej att förglömma är den viktigaste poängen vilket är att en lastintensitet är alltid noll i en punkt. Det krävs en bredd för att få en kraft.

Du skulle kunna ha samma balk men ett annat lastfall:

Alltså har vi lagt till en utbredd last Q vilket innebär att lastintensiteten inte längre är noll utan den är:

$q\left(x\right)=\frac{Q}{L}$

Detta gör att om vi snittar likt så som du gjorde tidigare har vi:

Från detta får vi:

$$\begin{gathered} ⭣: T\left(x\right)+Sw\left(L\right)+\frac{Q}{L}(L-x)=0 \\ T\left(x\right)=-Sw\left(L\right)-\frac{Q}{L}(L-x) \\ T\left(L\right)=-Sw\left(L\right) \end{gathered}$$

Detta ger samma randvillkor som förut:

$w\text{'}\text{'}\text{'}\left(L\right)-\frac{S}{EI}w\left(L\right)=0$

Som du ser har faktumet att vi i detta fall har en lastintensitet ingen påverkan på våra randvillkor. Däremot kommer vår slutliga ekvation för utböjningen bli annorlunda eftersom:

$EIw\text{'}\text{'}\text{'}\text{'}\left(x\right)=\frac{Q}{L}$

Detta är eftersom när du tar fram tvärkraften i punkten x = L är bredden på vår last L - L = 0. Alltså har vi ingen kraft från den utbredda lasten i den punkten.

Okej, vi har dock en lastintensitet q(x) i figuren väl? Förstår dock vad du menar nu och varför resultatet blir samma, så tack!