Bestämma randpunkter (flervariabelanalys) (Matematik/Universitet)

D är en kvadrat, och randen är kanten på den kvadraten. Fyra linjestycken alltså.

Aha ... det har du rätt i. Behöver man alltid rita en figur för att bestämma randpunkterna?

Definitionsmängden beskriver ett område i xy-planet. Området består av alla punkter $(x, y)$ som uppfyller villkoren $-1\leq x\leq1$ och $-1\leq y\leq1$ .

Randpunkterna är sedan alla punkter som utgör områdets gräns.

Ett bra första steg är att rita in området i ett koordinatsystem. Visa din bild.

Ja, ni har helt rätt. Såhär blir det ju.

Men säg att man vill undersöka om största eller minsta värde finns i någon av dessa randpunkter ... Hur gör man då? Det finns ju massor av randpunkter, så vi kan inte bara sätta in allihop i funktionen och kolla vad funktionsvärdet blir.

Ta då ett linjesegment i taget.

För varje linjesegment är antingen x eller y konstant.

Du kan då derivera målfunktionen och söka extremvärden på samma sätt som i envariabelfallet.

I det här enkla fallet behövde man egentligen inte rita, utan kunde tänka ut vilka linjer som definierar randen, men ofta kan det vara bra, och hursomhelst en bra illustration till vad det är man gör.

Vi kan ta ett svårare (?) exempel. Jag ska undersöka om det finns några max- och minvärden i randpunkterna till denna funktion:

Randpunkterna syns då i denna bild:

Jag hänger inte riktigt med på det Yngve säger om att "Du kan då derivera målfunktionen och söka extremvärden på samma sätt som i envariabelfallet." Målfunktionen = f(x,y) i detta fall? Men derivering av målfunktionen ger ju inte alls något "envariabelfall", vi har ju fortfarande med två variabler att göra.

Sätt in y = 1 eller y = x² eller vad som nu definierar randen. Då blir f(x, y) en funktion av enbart x.

Faxxi skrev:
...

Jag hänger inte riktigt med på det Yngve säger om att "Du kan då derivera målfunktionen och söka extremvärden på samma sätt som i envariabelfallet." Målfunktionen = f(x,y) i detta fall? Men derivering av målfunktionen ger ju inte alls något "envariabelfall", vi har ju fortfarande med två variabler att göra.

Eftersom $h(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}$ så gäller det att:

På linjesegmentet där $x=1$ så är $h(x,y)=\sqrt{1^2+y^2}$ . Denna funktion beror endast på $y$ .
På linjesegmentet där $x=-1$ så är $h(x,y)=\sqrt{(-1)^2+y^2}$ . Denna funktion beror endast på $y$ .
På linjesegmentet där $y=1$ så är $h(x,y)=\sqrt{x^2+1^2}$ . Denna funktion beror endast på $x$ .
På linjesegmentet där $y=-1$ så är $h(x,y)=\sqrt{x^2+(-1)^2}$ . Denna funktion beror endast på $x$ .

Laguna skrev:
Sätt in y = 1 eller y = x² eller vad som nu definierar randen. Då blir f(x, y) en funktion av enbart x.

Just det. Då får vi f(x,1) = x^4+x^2 och f(x,x²) = 0. Om man nu efter detta ska söka extremvärden på det "vanliga sättet" för envariabelfall, betyder det att man ska leta efter kritiska, singuljära och randpunkter för denna funktion också? Alltså genom att derivera och kolla när denna envariabelfunktion är noll och så vidare.

Ja.

Ok. Den ena funktionen blev bara 0, så då antar jag att vi struntar i den. Det är ju inte så svårt att lösa ut när derivatan i den andra funktionen x⁴+x ²är noll (3 punkter) eller saknas (ingen punkt). Men sedan måste vi ju undersöka punkterna i slutet av intervallet också ... Vilket intervall blir det egentligen?

Du kan inte bara strunta i en funktion som har värdet 0. Tänk om detta är det högsta/lägsta värdet på randen?

Vilka punkter menar du är i "slutet" av intervallet?

Är det (1,1) och (-1,1)?

I så fall finns de med i båda funktionsuttrycken eftersom dessa punkter är gemensamma för de båda delarna av randen.

Yngve skrev:
Du kan inte bara strunta i en funktion som har värdet 0. Tänk om detta är det högsta/lägsta värdet på randen?

Jag förstod inte vad det betydde att funktionen är 0, jag blev förvirrad eftersom jag inte kunde räkna med den. Men nu förstår jag - det är ju ett funktionsvärde som skulle kunna vara ett maximum eller minimum. Bra, tack!

Vilka punkter menar du är i "slutet" av intervallet?

Är det (1,1) och (-1,1)?

I så fall finns de med i båda funktionsuttrycken eftersom dessa punkter är gemensamma för de båda delarna av randen.

Jag trodde att det var (1,1) och (-1,-1), men när jag ritade upp x⁴+x² i grafen (grön linje i bilden nedan) finns dessa punkter inte med. Istället borde man söka punkterna när x⁴+x² = 1?

Nej nu blandar du ihop funktionen med dess definitionsmängd.

Insättning av (1,1) och (-1,-1) i den ursprungliga funktionen ger iallafall bara värdet 0. Och enligt lösningsförslaget verkar jag ännu inte ha hittat det minsta värdet, som ska vara -1/4. (Maximivärdet 1/4 hittas i en av de kritiska punkterna till den ursprungliga funktionen.)

Jag får funktionens minsta värde till $-\frac{15}{256}$ .

Visa hur du räknar

De punkter som är ändpunkter för två delar av randen (typ "hörn") måste man titta på separat, precis som i det endimensionella fallet.

Men det kanske ni sa längre upp.

Har du behandlat det inre av området? Alltså bestämt de partiella derivatorna med avseende på x repsektive y och satt dem till noll?

Ursäkta, jag tror att jag har blandat ihop två olika uppgifter! Det här är alltså den jag nu försöker bestämma extremvärden hos:

Extremvärden kan finnas i:

kritiska punkter: Gradienten är 0.
$\frac{\partial f}{\partial x} = 4 x^{3} - 2 x \Rightarrow x_{1} = 0, x_{2} = \sqrt{\frac{1}{2},} x_{3} = - \sqrt{\frac{1}{2}}$
$\frac{\partial f}{\partial y} = - 2 y + 1 \Rightarrow y_{1} = \frac{1}{2}$
Så om vi slår ihop x och y får vi punkterna $A = (0, \frac{1}{2}), B = (\sqrt{\frac{1}{2}}, \frac{1}{2}), C = (- \sqrt{\frac{1}{2}}, \frac{1}{2})$ vilket ger funktionsvärdena $f (A) = \frac{1}{4}, f (B) = 0, f (C) = 0$ .
singuljära punkter: Saknas.
randpunkter: Villkoret D ger att mängden avgränsas av funktionerna $y_{1} = x^{2}$ , $y_{2} = 1$ . Insättning i huvudfunktionen ger
$f_{1} (x, x^{2}) = 0$ - här får vi alltså redan ett funktionsvärde.
$f_{2} (x, 1) = x^{4} - x^{2}$ - här måste vi undersöka extrempunkter. Dessa kan finnas i:
- kritiska punkter: $f_{2}' (x) = 4 x^{3} - 2 x$ är noll vid $x_{1} = 0, x_{2} = \sqrt{\frac{1}{2},} x_{3} = - \sqrt{\frac{1}{2}}$ vilka insatta i samma funktion ger punkterna $D = (0, 0), G = (\sqrt{\frac{1}{2}}, \frac{1}{4}), H = (- \sqrt{\frac{1}{2}}, \frac{1}{4})$ men punkt G och H uppfyller inte villkoret D ovan så de förkastas. $f (D) = 0 .$
- singuljära punkter: Saknas.
- randpunkter: Och här kommer jag alltså inte längre - jag vet inte vilka x-värden som utgör ändarna på detta intervall.

Randen hänger ihop. Randen har inga ändpunkter.

Om du vill titta på hörnem separat kan du göra det, men det behövs inte i detta fallet.

Funktionsvärdet är detsamma i båda hörnen, oavsett vilken del av randen du betraktar, dvs oavsett vilket av de två funktionsuttrycken du använder. Pröva!

Om det är samma som i din tidigare bild, så tycker jag man ser tydligt vad min och max för x är. Man kan lätt kolla genom att sätta in i f(x,y).

Missförstår jag problemet?

- randpunkter: Och här kommer jag alltså inte längre - jag vet inte vilka x-värden som utgör ändarna på detta intervall.

Det syns ju på din bild:

Det är punkterna (-1,1) och (1,1).

Jag trodde att intervallet hade något med vår nya envariabelfunktion $f_{2} = x^{4} - x^{2}$ att göra, eftersom det var den jag skulle undersöka.

Men om vi sätter in punkterna (-1,1) och (1,1) i den ursprungliga funktionen får vi ändå för båda punkterna att f = 0. Och enligt facit ska det finnas en punkt som ger f = -1/4 (minimum), och den verkar jag inte hitta.

Faxxi skrev:
Ursäkta, jag tror att jag har blandat ihop två olika uppgifter! Det här är alltså den jag nu försöker bestämma extremvärden hos:

Extremvärden kan finnas i:

...

randpunkter: Villkoret D ger att mängden avgränsas av funktionerna $y_{1} = x^{2}$ , $y_{2} = 1$ . Insättning i huvudfunktionen ger
$f_{1} (x, x^{2}) = 0$ - här får vi alltså redan ett funktionsvärde.
$f_{2} (x, 1) = x^{4} - x^{2}$ - här måste vi undersöka extrempunkter. Dessa kan finnas i:
- kritiska punkter: $f_{2}' (x) = 4 x^{3} - 2 x$ är noll vid $x_{1} = 0, x_{2} = \sqrt{\frac{1}{2},} x_{3} = - \sqrt{\frac{1}{2}}$ vilka insatta i samma funktion ger punkterna $D = (0, 0), G = (\sqrt{\frac{1}{2}}, \frac{1}{4}), H = (- \sqrt{\frac{1}{2}}, \frac{1}{4})$ men punkt G och H uppfyller inte villkoret D ovan så de förkastas. $f (D) = 0 .$
- singuljära punkter: Saknas.
- randpunkter: Och här kommer jag alltså inte längre - jag vet inte vilka x-värden som utgör ändarna på detta intervall.

Vad menar du med att punkt G och H inte uppfyller villkoret D ovan?

Smaragdalena skrev:
Faxxi skrev:
Ursäkta, jag tror att jag har blandat ihop två olika uppgifter! Det här är alltså den jag nu försöker bestämma extremvärden hos:

Extremvärden kan finnas i:

...

randpunkter: Villkoret D ger att mängden avgränsas av funktionerna $y_{1} = x^{2}$ , $y_{2} = 1$ . Insättning i huvudfunktionen ger
$f_{1} (x, x^{2}) = 0$ - här får vi alltså redan ett funktionsvärde.
$f_{2} (x, 1) = x^{4} - x^{2}$ - här måste vi undersöka extrempunkter. Dessa kan finnas i:
- kritiska punkter: $f_{2}' (x) = 4 x^{3} - 2 x$ är noll vid $x_{1} = 0, x_{2} = \sqrt{\frac{1}{2},} x_{3} = - \sqrt{\frac{1}{2}}$ vilka insatta i samma funktion ger punkterna $D = (0, 0), G = (\sqrt{\frac{1}{2}}, \frac{1}{4}), H = (- \sqrt{\frac{1}{2}}, \frac{1}{4})$ men punkt G och H uppfyller inte villkoret D ovan så de förkastas. $f (D) = 0 .$
- singuljära punkter: Saknas.
- randpunkter: Och här kommer jag alltså inte längre - jag vet inte vilka x-värden som utgör ändarna på detta intervall.

Vad menar du med att punkt G och H inte uppfyller villkoret D ovan?

$x^2 \le y$ är inte sant för dem, antar jag.

Men de ligger ju på kurvan där y = x², hur skulle det kunna vara något annat än sant?

Felet är väl att y-koordinaten är fel för G och H.

Faxxi skrev:
...
- kritiska punkter: $f_{2}' (x) = 4 x^{3} - 2 x$ är noll vid $x_{1} = 0, x_{2} = \sqrt{\frac{1}{2},} x_{3} = - \sqrt{\frac{1}{2}}$ vilka insatta i samma funktion ger punkterna $D = (0, 0), G = (\sqrt{\frac{1}{2}}, \frac{1}{4}), H = (- \sqrt{\frac{1}{2}}, \frac{1}{4})$ men punkt G och H uppfyller inte villkoret D ovan så de förkastas. $f (D) = 0 .$

Kan du förklara hur du tänker här?

På vilket sätt hänger punkterna D, G och H ihop med det hela?

Jag tror att du blandar ihop funktionsvärde med $y$ -koordinat.

Du vill undersöka funktionsvärdet i randpunkterna $P_1=(0, 1)$ , $P_2=(\frac{1}{\sqrt{2}},1)$ och $P_3=(-\frac{1}{\sqrt{2}},1)$ .

Funktionsvärdena i dessa punkter är $f(P_1)=0$ , $f(P_2)=-\frac{1}{4}$ och $f(P_3)=-\frac{1}{4}$ .

Där har du dina minsta värden.

(Jag räknade fel förut när jag fick fram att minsta värdet var $-\frac{15}{256}$ )

Var får du y-värdena (y = 1) från i P1, P2, P3?

De kommer från ditt fall y₂ = 1.

Jaha! Jag trodde att man skulle sätta in x-värdena i den nya funktionen f₂. Men ok, då ska man alltså sätta in x-värdena i y₂ istället? Och sedan sätta in dem i originalfunktionen f och räkna ut f(x,y₂).

Ja, det är inte y som är en funktion av x på det randstycket. Du kan kalla f(x, y) för z om du vill, men inte y.