Bestämma parabeln! (Matematik/Matte 2/Funktioner och grafer)

Om du redan vet vart vertex är just nu, så kan du jobba med konstanten för att flytta i höjdled och göra om "x" till "(x-...)" eller "(x+...)" för att flytta i sidled, och på så vis styra hela kurvan dit du vill. Nu vill du flytta den så att vertex av kurvan hamnar på/i punkten (-2, 7).

Vertex måste ju vara i (1,4), tror ja. Men jag förstår fortfarande inte hur jag kan använda mig av det. Parabelns funktion i uppgift 1 är $x = \frac{y^{2} - 8 y + 24}{8}$ . Sen då?

Edvin Lake skrev:
Vertex måste ju vara i (1,4), tror ja. Men jag förstår fortfarande inte hur jag kan använda mig av det. Parabelns funktion i uppgift 1 är $x = \frac{y^{2} - 8 y + 24}{8}$ . Sen då?

Borde inte fokuspunkten ligga längs symmetrilinjen, alltså i mitten? Isåfall borde väl vertex ha samma x-koordinat, dvs (3, ...)?

När du har din funktion för parabeln så hade min approach varit att skriva den på formen y = ..., för att kunna använda standardmetoderna jag nämnde tidigare för att flytta den i y-led och x-led. Oavsett hur funktionen ser ut så innebär t.ex. ett byte av alla x till (x-1) att man flyttar den till höger (f(x=1) kommer ju nu ta samma värde som f(x=0) gjorde tidigare), och att lägga på en konstant "3" flyttar varenda punkt uppåt.

Men borde inte vertex vara i (1,4)? Styrlinjen är ju x=-1 och fokus ligger i (3,4). Då blir det väl en funktion där x beror på y, d.v.s. x=.....Däremot förstår jag inte hur man ska tänka när det är sådan funktion som flyttas i koordinatsystemet. Förstår hur det funkar för en funktion där y beror av x, men inte vice versa. Kan man fortfarande använda sig av samma metod som du beskrev tidigare?

Edvin Lake skrev:
Men borde inte vertex vara i (1,4)? Styrlinjen är ju x=-1 och fokus ligger i (3,4). Då blir det väl en funktion där x beror på y, d.v.s. x=.....Däremot förstår jag inte hur man ska tänka när det är sådan funktion som flyttas i koordinatsystemet. Förstår hur det funkar för en funktion där y beror av x, men inte vice versa. Kan man fortfarande använda sig av samma metod som du beskrev tidigare?

Jag lämnar öppet för andra "hjälpare" att factchecka min uppfattning, men i bilden jag har i huvudet så blir x-koordinaten för vertex samma som för fokuspunkten, dvs 3. Om det är en symmetrisk parabel vill säga.

Om du kan lösa ut y på något sätt så kan du ju skriva om det på formen y = ..., även om det från början ser ut som x = ...y...

Men det kan hända att jag missar någon approach som ligger närmare vad kursplanen förväntar sig att man ska göra!

Jaja, tack för hjälpen i alla fall! Ska försöka lite till här om jag får till något. Måste skissa upp lite på geogebra och se vad det kan bli för något!

Dock fortfarande osäker på hur man ska göra! :)

Börja med att försöka rita för hand. Har du ritat upp funktionen du fick fram i a-uppgiften?

foppa skrev:

Jag lämnar öppet för andra "hjälpare" att factchecka min uppfattning, men i bilden jag har i huvudet så blir x-koordinaten för vertex samma som för fokuspunkten, dvs 3. Om det är en symmetrisk parabel vill säga.
...

Alla parabler är symmetriska kring sin symmetrilinje.

Vertex och fokuspunkten ligger båda på symmetrilinjen, som i sin tur är vinkelrät mot styrlinjen.

Eftersom styrlinjen i detta fallet är x = -1, dvs vertikal, så är symmetrilinjen horisontell.

Det betyder att vertex och fokuspunkten har samma y-koordinat.

Smaragdalena skrev:
Börja med att försöka rita för hand. Har du ritat upp funktionen du fick fram i a-uppgiften?

Ja det har jag! Då blir vertex i (1,4). Förstår inte hur jag kan använda mig av det riktigt.

Jag tänker att man kan skriva den nya parabeln på formen $x = a y^{2} + b y + c$ . Då vet man att $a$ måste vara samma för båda parablerna, d.v.s. $a = 1$ . Eftersom att man vet symmetrilinjen på den nya parabeln kanske man kan använda sig av den också för att få ut vad $b$ och $c$ är? Eller är jag helt ute och cyklar?

Yngve skrev:

Eftersom styrlinjen i detta fallet är x = -1, dvs vertikal, så är symmetrilinjen horisontell.
Det betyder att vertex och fokuspunkten har samma y-koordinat.

Tack för att du städar upp efter mig Yngve! Herregud, hur kunde jag missa att det var en ”vriden” parabel... slarvpelle.

Edvin Lake skrev:
Jag tänker att man kan skriva den nya parabeln på formen $x = a y^{2} + b y + c$ . Då vet man att $a$ måste vara samma för båda parablerna, d.v.s. $a = 1$ . Eftersom att man vet symmetrilinjen på den nya parabeln kanske man kan använda sig av den också för att få ut vad $b$ och $c$ är? Eller är jag helt ute och cyklar?

Om du känner till värdet på a och y-koordinaten för symmetrilinjen så kan du bestämma värdet på b.

Det gäller nämligen att symmetrilinjen ligger vid $y=-\frac{b}{2a}$ , helt analogt med fallet "stående parabel".

Yngve skrev:
Edvin Lake skrev:
Jag tänker att man kan skriva den nya parabeln på formen $x = a y^{2} + b y + c$ . Då vet man att $a$ måste vara samma för båda parablerna, d.v.s. $a = 1$ . Eftersom att man vet symmetrilinjen på den nya parabeln kanske man kan använda sig av den också för att få ut vad $b$ och $c$ är? Eller är jag helt ute och cyklar?
Om du känner till värdet på a och y-koordinaten för symmetrilinjen så kan du bestämma värdet på b.
Det gäller nämligen att symmetrilinjen ligger vid $y=-\frac{b}{2a}$ , helt analogt med fallet "stående parabel".

Okej!

Nuvarande ekvation var ju $x = \frac{y^{2} - 8 y + 24}{8}$ som skrivs om till $x = \frac{1}{8} y^{2} - y + 3$ .

$y = - \frac{b}{2 a}$ ger att $7 = - \frac{b}{2 \cdot \frac{1}{8}}$ som leder till att $b = - \frac{14}{8}$

$x = \frac{1}{8} y^{2} - \frac{14}{8} y + c$ . Jag vet att parabeln ska gå genom $(- 2, 7)$ och får då att $- 2 = \frac{1}{8} \cdot 7^{2} - \frac{14}{8} \cdot 7 + c$ . Då blir $c = \frac{33}{8}$ .

$x = \frac{y^{2} - 14 y + 33}{8}$

Tack för hjälpen!

Finns det några andra sätt man kan lösa uppgiften på? Foppa pratade om nåt, men det fattade inte riktigt jag.

Edvin Lake skrev:
$x = \frac{y^{2} - 14 y + 33}{8}$
Tack för hjälpen!
Finns det några andra sätt man kan lösa uppgiften på? Foppa pratade om nåt, men det fattade inte riktigt jag.

Det jag tänkte funkar även om man lägger parabeln ned, eftersom det är ett allmänt förhållande mellan x och y. Såhär:

Du tog ju fram den ursprungliga funktionen,

x = 1/8 * [ y^2 - 8y + 24 ]

och listade föredömligt ut att vertex var (1, 4).

Om vi ska flytta vertex till (-2, 7) så ska vi flytta alla x tre steg åt vänster, dvs för alla x ska vi räkna ut den punkt man vanligtvis räknat ut och sedan dra bort 3. På samma sätt ska vi för att uttrycka y-värdet hela tiden titta på det y vi annars hade använt, men dra bort 3. Det blir som att vi flyttar koordinatsystemet nedåt, vilket får som effekt att vi flyttar kurvan uppåt.

Så,

y --> (y-3)

x = .... - 3

Då har vi

x = 1/8 * [ (y-3)^2 - 8(y-3) + 24 ] - 3

= 1/8 * [ y^2 - 14y + 57 ] - 3

= 1/8 * [ y^2 - 14y +33 ]

Vilket är samma som du räknat ut.

Har inte kollat närmare på det, men som alltid i matematik så skulle man nog märka att det ena egentligen är samma metod som det andra, bara man gräver djupt nog ;-)

foppa skrev:
Edvin Lake skrev:
$x = \frac{y^{2} - 14 y + 33}{8}$
Tack för hjälpen!
Finns det några andra sätt man kan lösa uppgiften på? Foppa pratade om nåt, men det fattade inte riktigt jag.
Det jag tänkte funkar även om man lägger parabeln ned, eftersom det är ett allmänt förhållande mellan x och y. Såhär:
Du tog ju fram den ursprungliga funktionen,
x = 1/8 * [ y^2 - 8y + 24 ]
och listade föredömligt ut att vertex var (1, 4).
Om vi ska flytta vertex till (-2, 7) så ska vi flytta alla x tre steg åt vänster, dvs för alla x ska vi räkna ut den punkt man vanligtvis räknat ut och sedan dra bort 3. På samma sätt ska vi för att uttrycka y-värdet hela tiden titta på det y vi annars hade använt, men dra bort 3. Det blir som att vi flyttar koordinatsystemet nedåt, vilket får som effekt att vi flyttar kurvan uppåt.
Så,
y --> (y-3)
x = .... - 3
Då har vi
x = 1/8 * [ (y-3)^2 - 8(y-3) + 24 ] - 3
= 1/8 * [ y^2 - 14y + 57 ] - 3
= 1/8 * [ y^2 - 14y +33 ]
Vilket är samma som du räknat ut.
Har inte kollat närmare på det, men som alltid i matematik så skulle man nog märka att det ena egentligen är samma metod som det andra, bara man gräver djupt nog ;-)

Nu fattar jag! Tusen tack! Tydlig lösning och bra förklarat!