Bestämma om området är stängt eller öppet

Det är olikhetstecknet ”mindre än eller lika med” som gör ytan S och kroppen K slutna. Kommer ej ihåg om div-satsen verkligen kräver slutna integrationsområden. En vanlig Riemann- eller Lebesgueintegral ger samma värde oavsett om integrationsområdet är slutet eller öppet.(förutsatt att Ränderna har måttet 0). 

Tomten skrev:

Det är olikhetstecknet ”mindre än eller lika med” som gör ytan S och kroppen K slutna. Kommer ej ihåg om div-satsen verkligen kräver slutna integrationsområden. En vanlig Riemann- eller Lebesgueintegral ger samma värde oavsett om integrationsområdet är slutet eller öppet.(förutsatt att Ränderna har måttet 0). 

Så i detta fall, ska z vara större eller lika med för att området ska vara sluten? 

Börja med att skissa ytan z = 2 - sqrt(x² + y²). Sedan markerar du de punkter på denna yta som dessutom uppfyller x² + y² $⩽$ 1. Vad får du då?

PATENTERAMERA skrev:

Börja med att skissa ytan z = 2 - sqrt(x² + y²). Sedan markerar du de punkter på denna yta som dessutom uppfyller x² + y² $⩽$ 1. Vad får du då?

Det är sånna här jag är dåligt med att jag inte riktigt kan föreställa mig en bild av hur uttrycket är! Jag vet bara att sqrt( x^2+y^2) är en kon men resten vet jag inte hur jag ska tänka för att kunna skissa området! Har du något tips?

Notera att i cylinderkoordinater så är sqrt(x² + y²) = r.

Så vi kan skriva ytan som z = 2 - r. Kan du skissa den?

PATENTERAMERA skrev:

Notera att i cylinderkoordinater så är sqrt(x² + y²) = r.

Så vi kan skriva ytan som z = 2 - r. Kan du skissa den?

en sånt?

Tänk på att r är avståndet till z-axeln. Dvs r kan inte vara negativ.

Detta blir således en kon med spetsen i z = 2.

Sedan har vi det ytterligare villkoret att r $\le$ 1.

Så bara en del av toppen av konytan skall vara med.

PATENTERAMERA skrev:

Tänk på att r är avståndet till z-axeln. Dvs r kan inte vara negativ.

Detta blir således en kon med spetsen i z = 2.

Sedan har vi det ytterligare villkoret att r $\le$ 1.

Så bara en del av toppen av konytan skall vara med.

I och med det finns sträckande området så är det inte slutet?

Precis. Bara konens mantelyta ingår i S. Basytan kommer inte med såsom S är definierad.

För att kunna använda Gauss så måste vi lägga till basytan så att vi får en yta som omsluter en volym som vi kan integrera över.