Bestämma om given funktionsserie likformigt konvergerar
Hej!
Uppgiften:
Har problem med att inse hur man kan dra slutsats nedan:
Hur kan man vara så säker på att den en enstaka term av summan kommer vara större än hela seriens "svans"? Generellt gäller ju
∞∑k=1-n∑k=1=∞∑k=n+1
Hur kan man plocka bort summan och sätta in den första termen (k=n+1)? Förstår att den kommer vara störst överlag, men inte att den skulle vara större än summan av alla övriga.
För att vi har faktorn (-1)k i summan. Om (-1)n+1 är positivt så kommer (-1)n+2 vara negativt, och vice versa. Detta gör att termen för k=n+1 och för k=n+2 kommer få omvänt tecken så om vi adderar dem samman och sedan tar absolutbelopp på dem får vi ett värde lägre än om vi bara tagit termen för k=n+1.
Tar vi även med termen för k=n+3 vi det till att den skall bli större än summan av termerna för k=n+1 och för k=n+2 (som ju hade olika tecken) för att vi skall få ett större värde än bara för k=n+1.
Det är en egenskap hos alternerande serier, där termernas absolutbelopp går monotont mot noll:
|∞∑k=n+1(-1)kak|≤an+1 gäller så länge ak↘0.
Motivering till detta påstående finns (förutom Bedinsis svar ovan) exempelvis på https://en.wikipedia.org/wiki/Alternating_series_test
Okej, det tänkte jag inte på. Tack så mycket.
