Bestämma nollställes multiplicitet

Det brukar vara så man gör ja, men ett alternativ kan vara att hitta övriga nollställen, och sedan använda sig av att det måste finnas fem rötter totalt. 

pepparkvarn skrev:

Det brukar vara så man gör ja, men ett alternativ kan vara att hitta övriga nollställen, och sedan använda sig av att det måste finnas fem rötter totalt. 

Tack för hjälpen!

Robin1900 skrev:

Uppgift: Polynomet p(x)= $x^5-10x^2+15x-6$ har nollstället x=1. Bestäm nollställets multiplicitet och faktorisera polynomet.

 

Jag löste uppgiften och fick rätt svar genom att dividera p(x) med (x-1) och sedan upprepa proceduren med kvoten tills det ej gick att dividera med (x-1) längre. Det jag undrar är om det finns något smidigare sätt att göra det på eller är det så man "ska" göra?

Jag skulle först ha försökt gissa fler nollställen, men om jag inte hittade några fler så skulle jag också ha gjort som du.

Om jag inte tänker fel så borde ett alternativ vara att titta på derivatornas värden då x = 1.

Tex om vi har ett polynom p(x) där 1 är ett nollställe med, säg, multiplicitet 2 så har vi

p(x) = (x-1)²q(x), där q(x) inte har (x-1) som faktor.

Dp(x) = 2(x-1)q(x) + (x-1)²Dq(x), så att Dp(1) = 0.

D²p(x) = 2q(x) + 2(x-1)Dq(x) + 2(x-1)Dq(x) + (x-1)²D²q(x), så att D²p(1) $\ne$0.

Detta borde kunna generaliseras till multiplicitet av ordningen m.

Dvs x = 1 är ett nollställe av multiplictet m om

D^kp(1) = 0, för k = 0, 1, 2, .... m-1, och

D^mp(1) ≠ 0.

Alternativt sätter man $t=x-1\Rightarrow x=t+1$, vilket ger uttrycket:

$p(t)=(t+1)^5-10(t+1)^2+15(t+1)-6=...=$

$t^5+5t^4+10t^3=t^3(t^2+5t+10)$

Alltså multiplicitet $3$.