bestämma närmevärde som avviker högst 1/8

hänger inte med riktigt på b)

jag har räknat ut a) som är $P (x) = x + E (x)$ där E(x) är restterm/felet: $E (x) = - c e^{- c^{2}} x^{2}$

där c är ett tal $0 \leq c \leq \frac{1}{2}$

Ska jag få felet så stort som möjligt väljer jag ju c = 0 och då blir ju hela E(x) = 0

så $P (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + 0 = \frac{1}{2}$

Så $F (\frac{1}{2}) \approx P (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$

Så vad gör jag nu? hur vet jag att det är rätt, känns ju lite oroväckande att resttermen är 0 ? det betyder ju att det inte är ett fel? hur vet jag att detta inte överstiger 1/8 som de skrev i uppgiften? vart gör jag fel?

$f (t) = 1 - t^{2} - . . . . . F (x) = x - \frac{x^{3}}{3} - . . . .$

Affe Jkpg skrev:
$f (t) = 1 - t^{2} - . . . . . F (x) = x - \frac{x^{3}}{3} - . . . .$

vad menas med detta?

i (b)-uppgiften står inte att du ska använda Maclaurinpolynom av första grad. Bara att felet ska vara max 1/8.

Så du ska använda Lagranges restterm för att se hur långt du måste gå (dvs hur många termer du måste ta med) för att få önskad storlek på felet. Förstagradspolynom räcker inte ....

dr_lund skrev:
i (b)-uppgiften står inte att du ska använda Maclaurinpolynom av första grad. Bara att felet ska vara max 1/8.
Så du ska använda Lagranges restterm för att se hur långt du måste gå (dvs hur många termer du måste ta med) för att få önskad storlek på felet. Förstagradspolynom räcker inte ....

okej men hur ser jag att det inte räcker? är det rätt det jag räknat fast för lite då och deriverar ytterligare eller vad gör jag nu?

Jo, du är på rätt spår. Derivera ytterligare, och lägg till termer i Maclaurinutvecklingen.

dr_lund skrev:
Jo, du är på rätt spår. Derivera ytterligare, och lägg till termer i Maclaurinutvecklingen.

okej jag ska testa det men hur vet man att det förstnämnda inte är rätt? hur kontrollerar man när man är klar?

Edit: Jag gjorde ett räknefel - ursäkta - så din ursprungliga plan håller.

$\int\limits_{0}^{x}e^{-t^2}\, dt=P_1(x)+E_1(x)$

Vi har att $P_1(x)=x$ och $E_1(x)=(-c)e^{-c^2}\cdot x^2$

$| E_1(x) |=c e^{-c^2}\cdot x^2$ . Då $x=0.5$ så gäller $0<c<0.5$ och

$| E_1(0.5) | < 0.5\cdot 3^{-0.25} \cdot 0.25\approx 0.095$ om vi antar att $e < 3$ . ( $c e^{-c^2}$ växer strängt så vi väljer därför c=0.5).

Så, sammanfattningsvis, vi är nöjda med ett förstagradspolynom som approximerar vår integral.

$\int\limits_{0}^{0.5}e^{-t^2}\, dt\approx 0.5$ med ett fel som ordentligt understiger 1/8.

Anm Med högre noggrannhet får man närmevärdet 0.4613.

Anm 2 Mitt tidigare svar: På liknande sätt, i liknande uppgifter, ska du ska använda Lagranges restterm för att se hur långt du måste gå (dvs hur många termer du måste ta med) för att få önskad storlek på felet.

Svara

Visa senaste svar