Bestämma n rötter ur ett tal
Hej! Jag sitter med en uppgift som lyder: ”Bestäm de tre kubikrötterna av -1”. Boken jag har går igenom en formel som säger att den n:te roten av ett komplext tal har följande vinkel:
theta_n=cos((theta+2(n-1)pi)/n)
Med detta i åtanke försökte jag lösa uppgiften:
Jag fastnade på vinklarna, eftersom de är fel enligt facit. pi och 5pi/3 är rätt, men den tredje vinkeln ska vara pi/3. 3pi/2 är alltså fel.
Jag tänkte att det kanske kunde vara ett slarvfel, så testade med en annan uppgift. Vet att Pluggakuten i regel vill ha en uppgift per inlägg, men bara för att visa att metoden inte verkade fungera på nästa uppgift heller (där de tre kubikrötterna ur -1 + 1 ska bestämmas):
Jag antar att jag gjort något fel. Detta är en förberedelsekurs inför universitet som ska repetera gymnasiematematik. Jag har inte använt denna formel tidigare, men den känns ju härleds ur rimliga samband.
Hjälp för vart det blivit fel någonstans uppskattas!
Tillåter man komplexa tal, så har varje reellt tal 3 kubikrötter.
En av dem är reell, de båda övriga är komplexa.
I det komplexa talplanet ligger alla tre på en cirkel med medelpunkt i origo
och radie lika med den reella rotens absolutbelopp.
De ligger dessutom jämnt fördelade över cirkeln.
Exempel
Den reella kubikroten ur 8 är lika med 2.
I det komplexa talplanet ligger alla tre rötterna på en cirkel med medelpunkt i origo
och radie lika med den reella rotens absolutbelopp, dvs med radien 2.
Eftersom de är jämnt fördelade över cirkeln har de argumenten
0, 2π/3 och -2π/3 (eller 0°, 120° och -120°). Rita!
Är du bekant med hur man skriver komplexa tal i polär form?
coffeshot skrev:Hej! Jag sitter med en uppgift som lyder: ”Bestäm de tre kubikrötterna av -1”. Boken jag har går igenom en formel som säger att den n:te roten av ett komplext tal har följande vinkel:
theta_n=cos((theta+2(n-1)pi)/n)
Här är någonting riktigt fel. Du skriver att en vinkel är lika med ett cosinusvärde. Vad betyder det?
Om du söker ett tal u sådant att un ska bli ditt tal z måste
argumentet för u = (argumentet för z) / n
men med hänsyn taget till periodiciteten, som ger fler lösningar. Du kan ju lägga till valfritt antal hela varv till arg(z)
arg(u) = ( (arg(z) + K*2pi ) / n
I ditt fall är arg(-1) lika med pi, och n är 3.
arg(u) = ( pi + K*2pi ) / 3
Vi ser att vi får olika svar för K = 0, 1 och 2, men när K=3 har vi gått ett helt varv från K=0
Kan du göra samma resonemang för kubikrötterna för -1+i ?
Hej allihopa och tack för svar!
Jag behövde nog bara sova på saken. Jag hade både tolkat formeln fel och skrivit av den fel här på Pluggakuten. Jag menade inte cos utan cos^-1!
Men sen förstod jag inte metoden helt ändå. Polär form och sånt där kommer jag ihåg. Läste lite och gjorde uppgiften igen och fick fram rätt svar, tack vare att jag använde formeln/metoden för att få fram vinklarna rätt:
Formeln jag menade var att vinklarna kunde skrivas som:
theta_k=((theta+2pi*k)/n)
där n=antal rötter och k=0,…,n-1.
Tack för hjälpen även om jag lyckades lista ut det själv!
