Bestämma matrisen (symmetrisk avbildning)

Hmm...

Det jag tänker är att en familj av vektorer som uppfyller att x₁-x₃=0 är alla de där x₁=x₃=0, och x₂ kan anta godtyckligt värde.

Om matrisen har egenskapen att vektorn (0, x₂, 0) avbildas på sig själv borde kolonn 2 i matrisen bestå av (0, 1, 0) för att det skall funka för alla värden på x₂. Om matrisen dessutom var symmetrisk så gör detta att även rad 2 är känd.

Jag vet inte om detta ger något.

Hm, vet inte om det hjälper mig. Tack ändå!

En tanke jag fick. 

Om varje vektor i planet x1-x3=0 avbildas på sig själv så borde väl matrisen stå för en ortogonal projektion i det planet? Det borde innebära att normalen till det planet bildar nollvektorn, dvs egenvärde 0? 

Om så är fallet tänker jag såhär:
$\mathit{v}\mathbf{=}\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right]\mathbf{ }\mathrm{som} \mathrm{ligger} \mathrm{i} \mathrm{planet} \mathrm{x}1-\mathrm{x}3=0$, $\mathit{n}\mathbf{=}\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\end{array}\right]$som är normal till planet. Då är v ortogonal mot n. Hur får jag fram vektorn som hör till egenvärdet 2? Egenvärdet 1 hör till v och egenvärdet 0 hör till n. Det enda vi vet är att egenvärdet 2 som hör till u, där u ska vara ortogonal mot både n och v. Funkar det att bara kryssa vxn för att få fram sista vektorn? Känns som jag missar något här. 

För en symmetrisk avbildning så är egenvektorer hörande till olika egenvärden ortogonala. Således är den tredje egenvektorn en normal till planet.

Så vi har tex följande tre normerade egenvektorer.

$\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right]$, $\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right]$, $\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\end{array}\right]$.

Sats: Om vi har en avbildning T från ${\mathrm{ℝ}}^3$ till ${\mathrm{ℝ}}^3$ och en ortonormerad bas ${\overrightarrow{b}}_1$, ${\overrightarrow{b}}_2$, ${\overrightarrow{b}}_3$ så ges matrisen M till T av

M = $\sum _{i=1}^{3}T\left({\overrightarrow{b}}_i\right){\overrightarrow{b}}_i^T$.

Okej, ja. Det var det jag testade här men fick fel. 

$$\begin{gathered} P=\left[\begin{array}{ccc}0& \frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{2}}\\ 1& 0& 0\\ 0& \frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{-1}{\sqrt{2}}\end{array}\right], P^{-1}=P^{T \\ } \\ så: \\ G=\left[\begin{array}{ccc}0& \frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{2}}\\ 1& 0& 0\\ 0& \frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{-1}{\sqrt{2}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ \frac{1}{\sqrt{2}}& 0& \frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}& 0& \frac{-1}{\sqrt{2}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{2}& 0& \frac{1}{2}\\ 0& 2& 0\\ \frac{1}{2}& 0& \frac{1}{2}\end{array}\right] \end{gathered}$$

Men det är fel svar. Var tänker jag fel?

De första två egenvektorerna svarar mot egenvärdet 1. Den sista mot egenvärdet 2.

Edit: Det skall naturligtvis vara 1/$\sqrt{2}$, inte $\sqrt{2}$.

Så det som gäller är att man tar två vektorer u och v i planet som är ortogonala mot varandra, och därefter tar normalen till det planet. Så då vet man att egenvärdet 1 hör till u och v (pga G(u)=u och G(v)=v) och då måste egenvärdet 2 höra till n för att vektorerna parvis ska vara ortogonala?

Så min tanke här ovan om att G(n)=0 är fel? För det jag tänker är att om G(u)=u och G(v)=v (om u & v ligger i planet) så borde det vara en ortogonalprojektion på det planet. Eller är det så att det kan vara en projektion men inte en ortogonalprojektion och därför kan man inte säga att G(n)=0?

Resonemanget i första stycket är rätt.

En projektion till ett plan behöver inte vara en ortogonalprojektion.

Men det står ingenting i uppgiften om att det skall vara en projektion (och det är inte en projektion), så det antagandet leder fel.

Notera att matrisen M till en projektion måste uppfylla P² = P.