Bestämma matrisen för linjär avbildning som projicerar vektorer på en linje

Hej! Jag behöver hjälp med att lösa följande uppgift.

Bestäm matrisen för den linjära avbildning från R^2 till R^2 som projicerar alla vektorer på linjen y = 3x/4.

Hittills har vi jobbat med standardmatriser för rotation och spegling med avseende på vissa vinklar. Kan man verkligen använda någon av dessa formler här? Hur mycket en vektor roteras i detta fall beror ju på vilken vinkel den har. Och vektorn ska väl inte bara roteras heller, den kommer ju att få en annan längd (iallafall enligt den här bilden).

Om vi låter en vektor betecknas $\overset{⇀}{v}$ gäller $p r o j_{y} \overset{⇀}{v} = \frac{\overset{⇀}{v} y}{y y} \cdot y$ . Men jag förstår inte riktigt hur jag ska kunna göra om denna projektion till en matris.

Det fina med en matris är att du bara behöver enhetsvektorernas avbildningar för att ta fram en matris (genom att lägga enhetsvektorernas avbildningar som kolonner i matrisen).

Vad får du om du beräknar projektionen för $(1,0)$ och $(0,1)$ ?

Oj! Det är sant. Det verkade fungera, fast med två invändningar:

Jag fick samma svar som facit, fast i min lösning har 9 och 16 bytt plats. Då är det väl inte samma matris?
y går ju inte att stoppa in i projektionsformeln, så jag fick skriva om den på parameterform och fick $\overset{⇀}{x} = t (\frac{3}{4}, 1)$ . Sedan använde jag mig bara av riktningsvektorn i projektionsformeln, för att jag inte visste hur man skulle få med t. Men hur kan jag motivera detta? Är svaret att bara riktningsvektorn är relevant, eller att det inte spelar nån roll vilket t vi väljer (i mitt fall blev det t=1)?

Faxxi skrev:
Oj! Det är sant. Det verkade fungera, fast med två invändningar:
Jag fick samma svar som facit, fast i min lösning har 9 och 16 bytt plats. Då är det väl inte samma matris?
y går ju inte att stoppa in i projektionsformeln, så jag fick skriva om den på parameterform och fick $\overset{⇀}{x} = t (\frac{3}{4}, 1)$ . Sedan använde jag mig bara av riktningsvektorn i projektionsformeln, för att jag inte visste hur man skulle få med t. Men hur kan jag motivera detta? Är svaret att bara riktningsvektorn är relevant, eller att det inte spelar nån roll vilket t vi väljer (i mitt fall blev det t=1)?

1. Du har rört till det med parameterframställningen. Det skall vara $t(1,3/4)$ , inte $t(3/4,1)$ som du skriver.

2. Det enda som spelar roll för $y$ :et i projektionsformeln är riktningen (eftersom man normerar $y$ i formeln). Riktningen är ju samma på hela linjen, och därför går det bra att bara använda sig av riktningsvektorn. Däremot går det faktiskt att stoppa in $(t,3t/4$ i projektionsformeln och få samma resultat, även om det leder till betydligt krångligare räkningar.

Om du vill få enklare kalkyler kan du välja linjens riktningsvektor $\mathbf{v}=\begin{bmatrix}4\\3\end{bmatrix}$ .

Notera att enbart riktningen är väsentlig.

Saxat ur en lärobok:

Stort tack!

Nu blev jag osäker igen. Jag har en liknande uppgift där jag ska bestämma matrisen för den linjära avbildningen som projicerar alla vektorer på ett plan i R^3. Är det då verkligen den vanliga projiceringsformeln man ska använda? Vektorn som beskriver planet kommer ju att få två riktningsvektorer.

Du använder projektion. Betrakta figuren:

$\overline{QP}=(\mathbf{x}\bullet \mathbf{e})\mathbf{e}$ , där $\mathbf{e}$ är en normerad normalvektor. $\overline{OQ}$ är bilden av $\mathbf{x}$ .

där $\mathsf{I}$ är identitetsmatrisen. T betecknar transponat.

Svara

Visa senaste svar