16 svar

841 visningar

Lovelita behöver inte mer hjälp

Bestämma matrisen för den linjära avbildningen

Uppgiften är:

Bestäm matrisen för den linjära avbildning $F$ i rummet som definieras av att $u$ först speglas i den rätta linjen ( $x, y, z$ ) = t(1,2,-2) och sedan vrids ett kvartsvarv kring z-axeln (så att vridningen blir i positiv led i xy-planet).

Hur tar jag mig an problemet?

Tänker att jag bör få fram matrisen för rotationen vid linjen (x,y,z) = t(1,2,-2) som första steg?

Ja, börja med det! Vad händer med enhetsvektorerna vid speglingen?

Smutstvätt skrev:
Ja, börja med det! Vad händer med enhetsvektorerna vid speglingen?

$H e j! J a g h a r b e r ä k n a t f ö l j a n d e f ö r a t t f å f r a m s p e g l i n g s m a t r i s e n S p e g l i g e n a v (x, y, z) i l i n j e n ä r S (x, y, z) = (x, y, z) - 2 ((x, y, z) - p r o j_{(1, 2, - 2)} (x, y, z)) = 2 p r o j_{(1, 2, - 2)} (x, y, z) - (x, y, z) = \frac{2}{14} (x + 2 y - 2 z, 2 x + 4 y - 4 z - 2 x - 4 y + 4 z) - (x, y, z) V i l k e n s e d a n g e r o s s f ö l j a n d e s p e g l i n g s m a t r i s : \frac{1}{14} (\begin{matrix} - 12 & 4 & 4 \\ 4 & - 6 & - 8 \\ - 4 & - 8 & - 6 \end{matrix})$

Blev lite konstigt med parenteserna där. Tycker du metoden ser korrekt ut? Vet att jag skrev att jag skulle börja med att ta fram matrisen för rotationen, men vet inte riktigt hur man gör det.

Tänker att jag bör normera (1,2,-2)

Du kan kolla om matrisen verkar stämma genom att multiplicera med vektorer som du vet vad som skall hända vid speglingen.

Tex så skall vektorn $[\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ - 2 \end{matrix}]$ vara invariant vid multiplikation med matrisen. Varje vektor som är ortogonal mot linjen, tex $[\begin{matrix} 0 \\ - 2 \\ 2 \end{matrix}]$ , skall byta tecken vid multiplikation med matrisen.

PATENTERAMERA skrev:
Du kan kolla om matrisen verkar stämma genom att multiplicera med vektorer som du vet vad som skall hända vid speglingen.

Tex så skall vektorn $[\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ - 2 \end{matrix}]$ vara invariant vid multiplikation med matrisen. Varje vektor som är ortogonal mot linjen, tex $[\begin{matrix} 0 \\ - 2 \\ 2 \end{matrix}]$ , skall byta tecken vid multiplikation med matrisen.

Då förstår jag bättre, tack!!

Hursomhelst så fick jag speglingsmatrisen till

$\frac{1}{9}$ $[\begin{matrix} - 7 & 4 & - 4 \\ 4 & - 1 & - 8 \\ - 4 & - 8 & - 1 \end{matrix}]$ .

När du skall räkna ut matrisen för rotationen så är det kanske enklast att titta på hur vektorerna i standardbasen påverkas av rotationen och konstruera matrisen utifrån det.

PATENTERAMERA skrev:
Hursomhelst så fick jag speglingsmatrisen till

$\frac{1}{9}$ $[\begin{matrix} - 7 & 4 & - 4 \\ 4 & - 1 & - 8 \\ - 4 & - 8 & - 1 \end{matrix}]$ .

När du skall räkna ut matrisen för rotationen så är det kanske enklast att titta på hur vektorerna i standardbasen påverkas av rotationen och konstruera matrisen utifrån det.

Tusen tack! Såg att jag gjorde slarvfel när jag räknade ${|(1, 2, - 2)|}^{2}$ .

Skulle du kunna förtydliga vad du menar med att titta på hur vektorerna i standardbasen påverkas av rotationen? Hur gör man det algebraiskt?

Jag har läst i kurslitteraturen och förstått att man bör införa en ny ortonormerad bas (positivt orienterad) $e'_{1}, e'_{2}, e'_{3}$

där $e_{3}$ = $\frac{v}{|v|}$

är en enhetsfaktor.

Första man bör göra är väl då att normera?

Det hade varit ett alternativ om de frågat efter rotation kring linjen. Men nu är det fråga om rotation kring z-axeln, vilket är lite enklare.

Om man roterar ett kvarts varv (90˚) kring z-axeln så ”mappas” standardbasen enligt (rita)

(1, 0, 0) $\mapsto$ (0, 1, 0)

(0, 1, 0) $\mapsto$ (-1, 0, 0)

(0, 0, 1) $\mapsto$ (0, 0, 1)

Från detta kan du direkt sätta upp rotationsmatrisen enligt

$[\begin{matrix} 0 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]$ .

PATENTERAMERA skrev:
Det hade varit ett alternativ om de frågat efter rotation kring linjen. Men nu är det fråga om rotation kring z-axeln, vilket är lite enklare.

Om man roterar ett kvarts varv (90˚) kring z-axeln så ”mappas” standardbasen enligt (rita)

(1, 0, 0) $\mapsto$ (0, 1, 0)

(0, 1, 0) $\mapsto$ (-1, 0, 0)

(0, 0, 1) $\mapsto$ (0, 0, 1)

Från detta kan du direkt sätta upp rotationsmatrisen enligt

$[\begin{matrix} 0 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]$ .

Ursäkta min tröghet. Det verkar som att jag har misslyckat med att förstå konceptet med standardbasen. Är vektorerna i standardbasen det som utgörs av vektorerna i min speglingsmatris?

Jag skall läsa på lite mer, då det är ett grundläggande begrepp som jag egentligen borde kunna.

Läs om standardbasen här.

Ingen konstigt i och för sig. Standardbasen i R³ är (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1).

PATENTERAMERA skrev:
Läs om standardbasen här.

Ingen konstigt i och för sig. Standardbasen i R³ är (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1).

Då förstår jag det som att standardbasen i $R^{3}$ spänns upp av de tre ortogonala enhetsvektorerna (med längden 1) nämligen

(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) = $e_{x}, e_{y}, e_{z}$ .

Och jag kan då enkelt utifrån dessa konstruera en rotationsmatris för $90^{°}$ givet att

$(\begin{matrix} \cos 90^{°} & - \sin 90^{°} & 0 \\ \sin 90^{°} & \cos 90^{°} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})$

Jag har då två matriser, en rotationsmatris som jag kallar för A och en speglingsmatris som jag kallar för B

Uppgiften efterfrågar en matris som definieras först av att u speglas och sedan vrids 90° kring z-axeln. Mitt största problem här är att jag inte vet hur jag skall koppla ihop matriserna A och B.

Det är så vist ordnat att den totala transformationsmatrisen M fås genom matrismultiplikation.

M = AB, detta är orsaken till att man definierar matrismultiplikation på det sätt som man gör.

PATENTERAMERA skrev:
Det är så vist ordnat att den totala transformationsmatrisen M fås genom matrismultiplikation.

M = AB, detta är orsaken till att man definierar matrismultiplikation på det sätt som man gör.

Ahh!! Misstänkte matrismultiplikation. Skall testa det! Tack för ditt tålamod och hjälp!! :)

Jag får att:

$\frac{1}{9} (\begin{matrix} - 7 & 4 & - 4 \\ 4 & - 1 & - 8 \\ - 4 & - 8 & - 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 0 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} \frac{4}{9} & \frac{7}{9} & \frac{- 4}{9} \\ \frac{- 1}{9} & \frac{- 4}{9} & \frac{- 8}{9} \\ \frac{- 8}{9} & \frac{4}{9} & \frac{- 1}{9} \end{matrix})$

Du har beräknat BA. Tänk på att ordningen vanligen spelar roll vid matrismultiplikation.

PATENTERAMERA skrev:
Du har beräknat BA. Tänk på att ordningen vanligen spelar roll vid matrismultiplikation.

Just det

AB = $(\begin{matrix} \frac{- 4}{9} & \frac{1}{9} & \frac{8}{9} \\ \frac{- 7}{9} & \frac{4}{9} & \frac{- 4}{9} \\ \frac{- 4}{9} & \frac{- 8}{9} & \frac{- 1}{9} \end{matrix})$

Svara

Visa senaste svar