Bestämma lutning och lösningskurva till en differentialekvation

Hej!

a) Ser bra ut. 

b) Det står inte att du ska använda någon specifik metod så du kan nog välja lite fritt för att approximera $y(2)$. I matte 5 går man väl igenom Eulers stegmetod? Testa den med någon valfri steglängd, kanske $h=0.5$ eller liknande (förutsatt att det ska göras för hand).

Ok. Men det som förvirrar mig lite är hur jag ska använda y(0)=4 i den stegmetoden?

Börja i punkten (0,4)

* Beräkna lutningen i punkten.

Gå ½ steg i x-led. Vilka koordinater har den nya punkten?

Upprepa från *

Fortsätt tills x = 2.

Ok, nu har jag försökt lösa den med Eulers stegmetod men känns som jag gör nånting fel?

Du behöver använda formeln för att beräkna lutningen i varje punkt. Det är bara i den första punkten (0,4) som derivatan har värdet 2, i punkten (0,5;5) har derivatan ett annat värde.

Ok, ska jag använda formeln y´=4+4x/y för att räkna ut derivatan i de andra punkterna då? Men vilka x och y värdena ska jag stoppa in då? x=0,5 och y=5 osv?

Nollprocentmattegeni skrev:

Ok, ska jag använda formeln y´=4+4x/y för att räkna ut derivatan i de andra punkterna då? Men vilka x och y värdena ska jag stoppa in då? x=0,5 och y=5 osv?

Precis.

Du använder ditt nuvarande x- och y-värde, eftersom du använder punkterna $x=x_{0}+n\cdot h$, där du ökar på $n$. Du går längs med x-axeln med steglängden $h$ och i varje punkt beräknar du värdet av $y$ enligt Eulers stegmetod och $y'$ har du givet.

Ok, nu har jag försökt räkna ut derivatan i punkt 1, är jag på rätt väg?

Derivatan i punkt 1 blir:

y´=4+4x/y

y´=4+2 / 4,5

y´=1,33

Vilka koordinater har "punkt 1"?

x=0,5 och y=4,5 eftersom steglängden är 0,5 om jag inte tänkt helt fel?

Startpunkten är  (0,4). Vilken lutning ger det?

Menar du k-värdet? 

Lutningen, k-värdet, derivatan, välj vilken beteckning du gillar.

Ok, nu har jag försökt räkna ut derivatan för startpunkten, är det rätt formel/rätt tänkt?

Derivatan i punkt 0 blir:

y´=4+4x/y

y´=4+0/4

y´=1

Hur får du 4+0 att få värdet 1?

4+0/4 blir ju 1? 

Hade det stått $\frac{4+0}{4}$ hade jag hållit med dig, men nu står det $4+\frac{0}{4}$.

Ok, tror inte riktigt jag hänger med hur du menar, jag har ju skrivit in x och y värdena i formeln som jag använde i a-uppgiften också och den uppgiften har jag räknat rätt förstod jag det som? 

Ja, men du gjorde rätt i a-uppgiften:

4+12/-6 = 4 + (-2) = 2

Nu har du 4 + 0/4. Det blir 4 + 0.

Ok, så svaret ska bli 4 nu i b-uppgiften istället för 1 som jag fick det till från början?

Nej, nu är du redo att beräkna y-värdet i punkten där x = 0,5. Vilket blir y-värdet? Vilken blir lutningen i den punkten?

Ok, y-värdet borde väl bli 4,5 då eftersom steglängden är 0,5 eller tänker jag fel då?

Har du använt derivatavärdet för x = 0?

Nu har jag försökt lösa uppgiften igen och räknat ut derivatan för varje punkt. Är jag på rätt spår?

Du beräknar fortfarande uttryck som 4+4*0,5/5 som om det stod (4+4)*0,5/5. Det blir fel.

Ok, hur ska jag skriva/beräkna de istället? 

Du kan behöva repetera det här; https://www.matteboken.se/lektioner/skolar-7/uttryck-och-ekvationer/teckna-och-berakna-uttryck

Ok, det var nog välbehövlig reptition :). Nu har jag försökt räkna om det med räknelagarna, ser det ut o stämma nu?

Derivatan i punkt 0 blir: y´=2

Startpunkt:(0,4)

Steglängd: 0,5 

x(n+1)=xn+0,5

y(n+1)=yn+0,5*y´

Derivatan i punkt 1: y´=4+4*0/4

y´=4

Derivatan i punkt 2: y´=4+4*0,5/4

y´=4,5

Derivatan i punkt 3: y´=4+4*1/4,5

y´=4,89

Derivatan i punkt 4: y´=4+4*1,5/4,89

y´=5,23

Du verkar dela med y', men det står 4x/y, så du får räkna ut y i varje steg.

Har delat med det tidigare y-värdet för punkten innan, men det kanske är fel tänkt?

Dela med y är rätt tänkt, fast det bör vara y för den aktuella punkten.

Dock ser jag inte att du räknar ut y alls.

Ok, måste ha missförstått nästan helt hur jag ska använda Eulers stegmetod känns det som.. men hur räknar jag ut y för den aktuella punkten? 

Det står på raden under den som visar hur man räknar ut det nya x.

Ok. 

Blir y-värdet i punkt 1 det här då: yn+0,5*y´=4+0,5*4=6  ?

Ja. 

Ja, punkt 0 är (0,4) och punkt 1 är (½,6).

Du vet att y' = 4+4x/y och att lösningskurvan går genom punkten (0,4).

Om vi sätter in x=0 och y=4 i uttrycket för y' får vi värdet y'=4+4*0/4 = 4. Eulers formel med steglängden 0,5 ger att nästa punkt har koordinaterna (0,5;4+4*0,5) d v s punkten har koordinaterna (0,5;6).

Om vi sätter in x=0,5 och y=6 i uttrycket för y' får vi värdet y'=4+4*0,5/6 =4,333... Eulers formel med steglängden 0,5 ger att nästa punkt har koordinaterna (1;6+4,33*0,5) d v s punkten har koordinaterna (1;8,16667).

Om vi sätter in x=1 och y=8,166667 i uttrycket för y' får vi värdet y'...

Fortsätt tills du får fram y-värdet när x = 2.

Nu tror jag att jag har förstått hur jag ska göra?

För att lösa den här uppgiften kan vi använda Eulers stegmetod så här:

Derivatan i punkt 0 blir: y´=2

Startpunkt:(0,4)

Steglängd: 0,5 

x(n+1)=xn+0,5

y(n+1)=yn+0,5*y´

Vi vet att y´=4+4x/y och att lösningskurvan går genom punkten (0,4).

Sen kan vi sätta in x=0 och y=4 i uttrycket för y´ och får då värdet y´=4+4*0/4=4. Eulers formel med steglängden 0,5 ger att nästa punkt har koordinaterna: x=xn+0,5=0,5 och y=4+4*0,5=6. Då vet vi att nästa punkt har koordinaterna x=0,5 och y=6. 

Sen kan vi sätta in x=0,5 och y=6 i uttrycket för y´ och får då värdet y´=4+4*0,5/6 =4,333. Eulers formel med steglängden 0,5 ger att nästa punkt har koordinaterna: x=xn+0,5=1 och y=6+0,5*4,33=8,165. Då vet vi att nästa punkt har koordinaterna x=1 och y=8,165. 

Sen kan vi sätta in x=1 och y=8,165 i uttrycket för y´ och får då värdet y´=4+4*1/8,165=4,489. Eulers formel med steglängden 0,5 ger att nästa punkt har koordinaterna x=xn+0,5=1,5 och y=8,165+0,5*4,489=10,4095. Då vet vi att nästa punkt har koordinaterna x=1,5 och y=10,4095. 

Sen kan vi sätta in x=1,5 och y=10,4095 i uttrycket för y´ och får då värdet y´=4+4*1,5/10,4095=4,576. Eulers formel med steglängden 0,5 ger att nästa punkt har koordinaterna x=xn+0,5=2 och y=10,4095+0,5*4,576=12,6975. Då vet vi att nästa punkt har koordinaterna x=2 och y=12,6975. 

Tabell över värdena: