Bestämma lösning till differentialekvationen

Jezusoyedan skrev:

Bestäm den lösning till differentialekvationen y''=-6x som uppfyller villkoren y(0)=y(2)=5. 

Utifrån frågan har jag förstått att när x=0 så är y=5 och när x=2 så är y=5 vilket därför har båda punkterna samma lutning. Dock vet inte jag hur det ser ut när x=1 så jag kan inte gå direkt till slutsatsen att lutningen är 0. 

y''=-6x => y'-3x^2 + C=> y=-x^3 +Cx +D 

Hit är jag med, det ser riktigt ut, förutom att du har glömt ett likhetstecken när du skriver uttrycket för förstaderivatan. Vi kan se att funktionen är en tredjegradskurva, och eftersom koefficienten för tredjegradstermen är ndegativ ser den mycket förenklat ut så här: \.

y=-x^3 +Cx +D =5 

Vad gör du här? Funktionen y är inte lika med 5 för alla x, bara för x = 0 och x = 2 (och möjligen något mer värde, men det vet vi inte).

y(0)=-0^3 +C*0 +D=5 -> , När funktionen går igenom y-axeln så är lutningen 0 vilket därmed vet vi att lutningen borde vara 0 vid x=2.

Hur kan du dra de slutsatsena? Vi kan dra slutsatsen att D = 5 men vi har ingen aning om vad C har för värde. Vi kan se att y'(0) = C och att y'(2) = C-12.

y(2)=-2^3 + D =5 -> D=13 så ekvationen är; y= -x^3 +13 

 

Nu till min fråga, stämmer detta? eller är jag helt ute och cyklar? Hade nyligen matte diagnos och denna fråga var en av de som kom så jag har ingen facit på mig. 

Vi vet att y(2) = 5 så -2³+2C + 5 = 5. Vilket värde har konstanten C?

Kommer du vidare?

så ekvationen blir y=-x^3 +4x+5? 

Derivera funktionen och kolla om den stämmer. Sätt in värdena i ekvationen och kolla om de stämmer.

y=-x^3 +4x+5 , y'=-3x^2 +4 , y''=-6x

y(0)=-0^3 +4*0 +5 = 5

y(2)=-2^3 +4*2 +5 = 5

så det borde stämma?