Bestämma konvergens för en integral
Tjena, har en uppgift som jag sitter fast på, se bild nedan.
Jag vet hur man ser om den är konvergent eller divergent men jag har problem med att bestämma själva integralen. Jag har försökt att skriva om nämnaren till x0.5 * (x4+1)0.5 och använda variabelsubstitution för x0.5 men jag kommer ingenstans. Är det något som har något tips på hur man kan gå till väga?
Det är konvergensen/divergensen du ska bestämma. Det innebär inte att du MÅSTE beräkna integralen. Visa gärna hur du avgör konvergens/divergens i detta fall.
Som jag har förstått det ska man ta gränsvärdet för integralen som nedan
Om detta gränsvärde existerar och är ändligt är integralen konvergent, annars divergent. Men för att bestämma gränsvärdet på detta sätt måste man först kunna bestämma integralen. Kan man komma förbi detta på något sätt?. (Såg nu att jag glömde skriva roten ur i bilden)
Vart tog rottecknet vägen?
Nej, du behöver inte beräkna integralen. Du kan kanske visa att den är mindre än R, där R är något reellt tal.
Rottecknet är osynligt (glömde skriva dit det)
Menar du att man ska visa följande:
Ja. Hitta en integrand som är mindre än den du har och som är lätt att beräkna.
Om det går.
Förslagsvis delar man upp det i två intervall:
och .
Jag hittade en integrand som är större än den vi har (tog 1/x^2) och kunde utifrån den visa att integralen inte kan vara konvergent. Fick då fram dethär: 
Eftersom att vänstra termen är divergent blir 1/x^2 divergent över hela intervallet [0, infinity).
Alltså måste jag hitta en integrand som är mindre än den vi har och visa att den är divergent, men jag har svårt att hitta någon integrand som är strikt mindre än den vi har.
Tack så mycket för alla svar! Löste uppgiften
Var den konvergent?
Laguna skrev:Var den konvergent?
Ja den var konvergent. Jag hade gjort fel tidigare när jag fick fram att den skulle vara divergent. Såhär löste jag uppgiften:
