Bestämma konstanttermen

Det är inte värdet på x som ska bestämmas. När du utvecklar parentesen kommer du att få en lång rad termer, typ $5x^{10}-4x^8-10x^6...$ (fingerade värden). Du kommer också få en term som inte har något x, en konstantterm. Det är denna som du ska bestämma storleken på. Hur kan du göra för att utveckla parentesen?

Ex. p(x)= 2+5x+7x² 

Konstant termen i p(x) är den term som inte påverkas av x. D.v.s. 2 för polynomet p(x).

Ledtrådar:

Konstanttermen i

• $(x+b)^1=x+b$ är $b$
• $(x+b)^2=x^2+2xb+b^2$ är $b^2$
• $(x+b)^3=x^3+3x^2b+3xb^2+b^3$ är $b^3$

o.s.v, eftersom det endast är dessa termer som är konstanta, dvs oberoende av värdet på x.

Tack alla! Jag känner igen detta. Binomialsatsen, hehe.

Kan jag skriva uttrycket inom parentesen så häromnatten jag börjar använda summaformeln i binomialsatsen?

$(5x^4-\frac{2}{x}{)}^{25}$

EDIT: Tack Smutstvätt, för ditt svar nedan. Då skriver jag i stället så här:

$(5x^4+(-\frac{2}{x}{)}^{25}$

Jadå, det går bra, men glöm inte att minustecknet kommer att finnas kvar i (vissa av) termerna. :)

Hej!

Binomialsatsen låter dig skriva ditt uttryck såhär.

    $\sum_{k=0}^{25}{25\choose k}(-2x^{-1})^{k}(5x^4)^{25-k}.$

Splittra faktorerna så att produkterna består av tal och av x-potenser.

    ${25\choose k}(-1)^{k}2^{k}5^{25-k}\cdot x^{100-5k}.$

Konstanttermen svarar mot noll-potensen av $x$.

Konstanttermen borde bli något upphöjt i 25.

Det är också när k=25.

Du måste väl lista ut när x^-k*x^4(25-k)= x⁰. För då får du x⁰ vilket är 1. Då har du konstant termen. När du har k-värdet kan du stoppa in det i din formel.  Då får du ut koefficienten. 

När k=20 så är $x^0=1.$

Hur menar du med att jag då har konstanttermen? 

Och vilken är koefficienten som du menar att jag får fram genom att sätta in k-värdet i formeln?

(Jag har provat med några olika värden på konstanttermen som svar på uppgiften och den är inte 1 och inte $-2^{25}$ vilket jag föreslagit, men jag förstår ju att jag måste göra fel här).

Är detta formeln där jag ska sätta in k=20

$\left(\begin{array}{c}25\\ k\end{array}\right)(-1{)}^k{2}^k{5}^{25-k}· x^{100-5k}$ ?

Jag tror du blandat ihop termerna litegrann. En konsttantterm är en term som inte beror på värdet av $x$; den är konstant oavsett $x$-värde. Om man utvecklar till exempel $(x+1)^{25}$ skulle den sista termen i utvecklingen vara konstanttermen, men så är inte fallet här, för nu beror nämligen båda termer i parentesen av $x$. Då kommer den sista termen att vara en potens av $x$ (mer specifikt $\text{n}\stackrel{\circ}{\text{a}}\text{got}/x^{25}$). Konstanttermen kommer faktiskt att vara någonstans i mitten av utvecklingen, vid $k$-värdet då de negativa och positiva potenserna tillsammans ger exponenten noll (och eftersom $x^0=1$ försvinner beroendet av $x$, därmed är det konstanttermen).

Som du löst ut så är potensen för $x$ lika med noll då $k=20$. Sätter du in detta i Albikis uttryck får du alltså värdet på konstanttermen. Det är dock viktigt att du förstår hur man får fram Albikis uttryck. Gör du det?

Ja, jag förstår precis hur Albiki fick fram uttrycket, genom att jag känner till potensreglerna. Tack för förklaringen, jag förstår vad du menar AlbinB. Det var bra förklarat.

Ja, jag förstod att denna uppgift var annorlunda än de enklare exemplen i boken eftersom det var x i båda termerna $(x+y{)}^{25}$.

Konstanttermen i binomialutvecklingen motsvarar $k=20$ och är

    ${25\choose 20} 2^{20}5^{5} = {25\choose 5}2^{5}2^{10}10^{5}={25\choose 5} \cdot 32 \cdot 102400000$.

Det blev ett väldigt stort tal!

Ursäkta att jag inte svarade med att sätta in k i formeln igår, det blev inte tid till det.

Jag förstår fullt ut det som står före första likhetstecknet.

(-1)^20 = 1 så den behöver  ju inte skrivas ut.

Återkommer under dagen med mer respons för att visa att jag förstått eller fråga ytterligare.

Tack för ert engagemang.

Vad skedde i andra steget där

$\left(\begin{array}{c}25\\ 20\end{array}\right)2^{20}{5}^5$ blev $\left(\begin{array}{c}25\\ 5\end{array}\right)2^5{2}^{10}{10}^5$ ?

När man ändrar k-värdet så kan man laborera med potenserna, men efter vilka regler sker det?

Sista steget är jag  med på där man får $\left(\begin{array}{c}25\\ 5\end{array}\right) · 32 · 102 400 000.$

Jag kan även se att $\left(\begin{array}{c}25\\ 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)=\left(\frac{n!}{k!(n-k)!}\right)=\left(\begin{array}{c}25\\ 20\end{array}\right)=5·6·23·11·7=53 130.$

Man kan svara att konstanttermen är $53 130 ·2^{20}·5^5$. Det godtogs som svar i min webbövning.

Albikis magi med potenserna kommer inte från att han ändrar i binomialkoefficienterna, för där gäller ju identiteten:

$\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}n\\n-k\end{pmatrix}$

vilket i vårt fall ger:

$\begin{pmatrix}25\\20\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}25\\5\end{pmatrix}$

Omskrivningen är faktiskt bara potenslagarna applicerade i flera steg:

$2^{20}\cdot5^5=2^{10}\cdot2^{10}\cdot5^5=2^{10}\cdot2^5\cdot2^5\cdot5^5=2^{10}\cdot2^5\cdot\left(2\cdot5\right)^5=2^{10}\cdot{2^5}\cdot10^5$

Denna omskrivning gör det enklare att beräkna värdet (eftersom vi får tiopotenser) för hand, men om man ändå har miniräknare kanske det inte är helt nödvändigt.

Klurigt och smart. Det är bra om man kan lösa det mesta utan miniräknare tycker jag.