Bestämma konstanter till en primitiv funktion utifrån derivata

Har suttit och klurat lite på denna uppgift men förstår inte riktigt hur jag ska lösa den.

Frågan lyder: Anta att en primitiv funktion F till f(x) = x*e^x kan skrivas F(x) = Axe^x + Be^x
Derivera F och bestäm konstanterna

När jag väl dervierar får jag derivatan Axe^x + Ae^x + Be^x som jag kan skriva om till e^x(Ax + A + B). Jag antar att detta ska vara lika med f(x) som är x * e^x. Men efter detta vet jag inte hur jag ska fortsätta, verkar väldigt luddigt. Någon som kan hjälpa?

Jag skulle multiplicera ut det deriverade uttrycket så här och ställa det lika med f(x):

$A x e^{x} + (A + B) e^{x} = x e^{x}$

Eftersom du vet att de ska vara lika många termer av varje sort kan du ställa upp ekvationer för vad A respektive A+B ska vara lika med.

Om e^x(Ax+A+B)=xe^x

Vad skall då A och B vara?

Ax+A+B=x. Då måste A=1, vad blir då B?

Jaha, B måste alltså vara -1. Men detta är väl något man prövar sig fram, antar att det inte finns en mer direkt lösning?

Ja, eller så kan du ju se det som att du löser ett ekvationssystem. Eftersom koefficienterna för termerna på båda sidor måste vara lika kan du ju säga att A=1 och A+B=0.

AlvinB skrev :
Ja, eller så kan du ju se det som att du löser ett ekvationssystem. Eftersom koefficienterna för termerna på båda sidor måste vara lika kan du ju säga att A=1 och A+B=0.

Aha sant.

Men hur gör jag på b) uppgiften när jag ska tillämpa denna metod på att finna en primitiv funktion till f(x) = x^2e^x? För jag kan väl, utifrån metoden, uttrycka den primitiva funktionen som F(x) = Ax^2e^2 + Be^x till att börja med och om jag deriverar denna får jag att F'(x) = Ax^2e^x + 2Axe^x + Be^x som vidare kan skrivas om till e^x(Ax^2 + 2Ax + B). Detta ska vara lika med x^2e^x och jag får ekvationen: Ax^2 + 2Ax + B = x^2 som man kanske inte kan lösa lika enkelt genom att prova sig fram, eller har jag gjort fel? Hur gör jag nu?

Du har börjat utifrån fel uttryck (vilket gör ekvationen med A och B olöslig).

Den primitiva funktionen till $x^{2} e^{x}$ är på formen $A x^{2} e^{x} + B x e^{x} + C e^{x}$ .

AlvinB skrev :
Du har börjat utifrån fel uttryck (vilket gör ekvationen med A och B olöslig).
Den primitiva funktionen till $x^{2} e^{x}$ är på formen $A x^{2} e^{x} + B x e^{x} + C e^{x}$ .

Aha tack, jag tänkte väl det. Men varför skrivs den så och inte som jag tänkte? Är det någon allmän formel eller annat liknande som jag missat?

Jag vet inte riktigt hur man ska bestämma det. Det känns som ett lite baklänges sätt att få fram primitiva funktioner. Har ni gått igenom denna metod på lektionstid eller i boken?

Jag använde bara partiell integration för att se vilka termer som fanns med, men då kunde jag lika gärna strunta i A, B och C eftersom jag redan hade svaret.

En generell regel man kan härleda med partiell integration är att för $x^{n} e^{x}$ krävs termer av alla grader upp till n, d.v.s. $A x^{n} e^{x} + B x^{n - 1} e^{x} + . . . + C x e^{x} + D e^{x}$ , men jag förstår inte varför man inte bara kan räkna med partiell integration direkt.

AlvinB skrev :
Jag vet inte riktigt hur man ska bestämma det. Det känns som ett lite baklänges sätt att få fram primitiva funktioner. Har ni gått igenom denna metod på lektionstid eller i boken?
Jag använde bara partiell integration för att se vilka termer som fanns med, men då kunde jag lika gärna strunta i A, B och C eftersom jag redan hade svaret.
En generell regel man kan härleda med partiell integration är att för $x^{n} e^{x}$ krävs termer av alla grader upp till n, d.v.s. $A x^{n} e^{x} + B x^{n - 1} e^{x} + . . . + C x e^{x} + D e^{x}$ , men jag förstår inte varför man inte bara kan räkna med partiell integration direkt.

Jaha, detta var något nytt för mig, kan inte minnas något min lärare sagt om detta, bäst jag frågar. Men ändå, tack som fan för övriga svar!

Svara

Visa senaste svar