Bestämma komplext tal så uttryck är reellt

Hej,

Du har missuppfattat frågan; det är inte $z$ som ska ha imaginärdel noll utan det är $z+z^{-1}$ som ska ha imaginärdel noll.

säg att z=x+yi då blir

  $$\begin{gathered} z + \frac{1}{z} =x+yi + \frac{1}{x+yi} =\frac{(x+yi)(x+yi)}{x+yi} + \frac{1}{x+yi} =\frac{x^2-y^2+2xyi+1}{x+yi} \\ =\frac{(x^2-y^2+1)+2xyi}{x+yi}=\frac{\left(\right(x^2-y^2+1)+2xyi)(x-yi)}{(x+yi)(x-yi)} \\ =\frac{x^3-x{y}^2+x-x^{2}yi+y^{3}i-yi+2x^{2}yi+2x{y}^2}{x^2-y^2}=\frac{x^3+x+y^{3}i-yi+x^{2}yi+x{y}^2}{x^2-y^2} \\ =\frac{(x^3+x+x{y}^2)+(y^3-y+x^{2}y)i}{x^2-y^2}=\frac{x^3+x+x{y}^2}{x^2-y^2}+\frac{y^3-y+x^{2}y}{x^2-y^2}i \end{gathered}$$

$z + \frac{1}{z}$är reellt när

 $$\begin{gathered} \frac{y^3-y+x^{2}y}{x^2-y^2} =0 \\ {y}^3-y+x^{2}y=0 \\ y(y^2-1+x^2)=0 \\ Antigen y=0 betyder de talen som ligger på x-axe\ln \\ eller y^2-1+x^2=0 \\ x^2+y^2=1 en cirkel med centrum i origo och dess radie är 1 \end{gathered}$$

Ett komplext tal w är reellt om och endast om w = w*.

z + 1/z = z*+ 1/z* $\iff$

(z - z*)(1 - 1/|z|²) = 0 $\iff$

Im(z) = 0 eller |z| = 1.

Hej,

Uppgiften blir enklare att lösa om du har ett reellt tal i nämnaren istället för ett komplext; förläng därför med konjugatet $\bar{z}$ för att få summan $z+\frac{\bar{z}}{|z|^2}.$

Om $z=a+ib$ (där jag antar att $b\neq 0$ för att få icke-trivial lösning) så blir $\bar{z} = a-ib$ och summan

    $z+z^{-1}= a(1+\frac{1}{|z|^2}) + ib(1-\frac{1}{|z|^2}).$

Här ser du direkt att $z+z^{-1}$ har imaginärdel noll precis då $z$ ligger på enhetscirkeln i det komplexa talplanet; beräkningen visar också att summan i detta fall är lika med komplexa talet $2\text{Re}(z)+i0.$

Mohammad Abdalla skrev:

säg att z=x+yi då blir

  $$\begin{gathered} z + \frac{1}{z} =x+yi + \frac{1}{x+yi} =\frac{(x+yi)(x+yi)}{x+yi} + \frac{1}{x+yi} =\frac{x^2-y^2+2xyi+1}{x+yi} \\ =\frac{(x^2-y^2+1)+2xyi}{x+yi}=\frac{\left(\right(x^2-y^2+1)+2xyi)(x-yi)}{(x+yi)(x-yi)} \\ =\frac{x^3-x{y}^2+x-x^{2}yi+y^{3}i-yi+2x^{2}yi+2x{y}^2}{x^2-y^2}=\frac{x^3+x+y^{3}i-yi+x^{2}yi+x{y}^2}{x^2-y^2} \\ =\frac{(x^3+x+x{y}^2)+(y^3-y+x^{2}y)i}{x^2-y^2}=\frac{x^3+x+x{y}^2}{x^2-y^2}+\frac{y^3-y+x^{2}y}{x^2-y^2}i \end{gathered}$$

$z + \frac{1}{z}$är reellt när

 $$\begin{gathered} \frac{y^3-y+x^{2}y}{x^2-y^2} =0 \\ {y}^3-y+x^{2}y=0 \\ y(y^2-1+x^2)=0 \\ Antigen y=0 betyder de talen som ligger på x-axe\ln \\ eller y^2-1+x^2=0 \\ x^2+y^2=1 en cirkel med centrum i origo och dess radie är 1 \end{gathered}$$

Ska inte (x+yi)(x-yi) = x^2 + y^2 ?

Albiki skrev:

Hej,

Uppgiften blir enklare att lösa om du har ett reellt tal i nämnaren istället för ett komplext; förläng därför med konjugatet $\bar{z}$ för att få summan $z+\frac{\bar{z}}{|z|^2}.$

Om $z=a+ib$ (där jag antar att $b\neq 0$ för att få icke-trivial lösning) så blir $\bar{z} = a-ib$ och summan

    $z+z^{-1}= a(1+\frac{1}{|z|^2}) + ib(1-\frac{1}{|z|^2}).$

Här ser du direkt att $z+z^{-1}$ har imaginärdel noll precis då $z$ ligger på enhetscirkeln i det komplexa talplanet; beräkningen visar också att summan i detta fall är lika med komplexa talet $2\text{Re}(z)+i0.$

Började såhär, men förstår inte hur du bryter ut efter:

Behåll |z| och dela bråket i 2 delar, sen bryter du ut a från allt som innehåller a, och likadant för b.

bubblan234 skrev:

Mohammad Abdalla skrev:

säg att z=x+yi då blir

  $$\begin{gathered} z + \frac{1}{z} =x+yi + \frac{1}{x+yi} =\frac{(x+yi)(x+yi)}{x+yi} + \frac{1}{x+yi} =\frac{x^2-y^2+2xyi+1}{x+yi} \\ =\frac{(x^2-y^2+1)+2xyi}{x+yi}=\frac{\left(\right(x^2-y^2+1)+2xyi)(x-yi)}{(x+yi)(x-yi)} \\ =\frac{x^3-x{y}^2+x-x^{2}yi+y^{3}i-yi+2x^{2}yi+2x{y}^2}{x^2-y^2}=\frac{x^3+x+y^{3}i-yi+x^{2}yi+x{y}^2}{x^2-y^2} \\ =\frac{(x^3+x+x{y}^2)+(y^3-y+x^{2}y)i}{x^2-y^2}=\frac{x^3+x+x{y}^2}{x^2-y^2}+\frac{y^3-y+x^{2}y}{x^2-y^2}i \end{gathered}$$

$z + \frac{1}{z}$är reellt när

 $$\begin{gathered} \frac{y^3-y+x^{2}y}{x^2-y^2} =0 \\ {y}^3-y+x^{2}y=0 \\ y(y^2-1+x^2)=0 \\ Antigen y=0 betyder de talen som ligger på x-axe\ln \\ eller y^2-1+x^2=0 \\ x^2+y^2=1 en cirkel med centrum i origo och dess radie är 1 \end{gathered}$$

Ska inte (x+yi)(x-yi) = x^2 + y^2 ?

Jo, det var slarv av mig där.