Bestämma intervall i en funktion - Andraderivatan.

FLawLesS skrev:

Fråga: Bestäm de intervall där funktionen $f\left(x\right)=e^{2x}-2e^x$ är konvex respektive konkav. 

 

Jag har haft lite uppehåll och fattar inte vad är det jag ska leta efter och hur jag ska börja derivera den. 

 

Tack för hjälpen på förhand.

Kolla in denna förklaring av konvexa/konkava funktioner. Återkom med frågor på det du inte förstår.

Derivatan av $e^{kx}$ är $k\cdot e^{kx}$

Kommer du vidare då?

EDIT - fixat trasig länk

Yngve skrev:

FLawLesS skrev:

Fråga: Bestäm de intervall där funktionen $f\left(x\right)=e^{2x}-2e^x$ är konvex respektive konkav. 

 

Jag har haft lite uppehåll och fattar inte vad är det jag ska leta efter och hur jag ska börja derivera den. 

 

Tack för hjälpen på förhand.

Kolla in denna förklaring av konvexa/konkava funktioner. Återkom med frågor på det du inte förstår.

Derivatan av $e^{kx}$ är $k\cdot e^{kx}$

Kommer du vidare då?

EDIT - fixat trasig länk

 Så här långt kommer jag fram till på denn uppgift. 

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=e^{2x}-2e^x \\ f\text{'}\left(x\right)=2e^{2x}-2e^x \\ f\text{'}\text{'}\left(x\right)=4e^{2x}-2e^x \end{gathered}$$

Jag fattar inte resten. 

FLawLesS skrev:

 Så här långt kommer jag fram till på denn uppgift. 

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=e^{2x}-2e^x \\ f\text{'}\left(x\right)=2e^{2x}-2e^x \\ f\text{'}\text{'}\left(x\right)=4e^{2x}-2e^x \end{gathered}$$

Jag fattar inte resten. 

 Du har deriverat rätt.

Om du läser artikeln jag länkade till så ser du att funktionen $f(x)$ är konvex för de värden på $x$ för vilka $f''(x)\geq 0$ och konkav för de värden på $x$ för vilka $f''(x)\leq 0$.

Kommer du vidare då?

Yngve skrev:

FLawLesS skrev:

 Så här långt kommer jag fram till på denn uppgift. 

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=e^{2x}-2e^x \\ f\text{'}\left(x\right)=2e^{2x}-2e^x \\ f\text{'}\text{'}\left(x\right)=4e^{2x}-2e^x \end{gathered}$$

Jag fattar inte resten. 

 Du har deriverat rätt.

Om du läser artikeln jag länkade till så ser du att funktionen $f(x)$ är konvex för de värden på $x$ för vilka $f''(x)\geq 0$ och konkav för de värden på $x$ för vilka $f''(x)\leq 0$.

Kommer du vidare då?

Nej, jag vet inte vad jag ska göra härnest om jag ska räkna ut x när den är 0 eller om jag ska bara stoppa in värden i andraderivatans funktion och gissa mig framm. 

Se till att ditt svar inte hamnar inuti  citatet! /Smaragdalena, moderator

FLawLesS skrev:

Nej, jag vet inte vad jag ska göra härnest om jag ska räkna ut x när den är 0 eller om jag ska bara stoppa in värden i andraderivatans funktion och gissa mig framm. 

Du ska lösa de två olikheterna

• $f''(x)\geq 0$, vilket ger dig de värden på $x$ för vilka $f(x)$ är konvex

och

• $f''(x)\leq 0$, vilket ger dig de värden på $x$ för vilka $f(x)$ är konkav.

Yngve skrev:

FLawLesS skrev:

Visa föregående citat

Nej, jag vet inte vad jag ska göra härnest om jag ska räkna ut x när den är 0 eller om jag ska bara stoppa in värden i andraderivatans funktion och gissa mig framm. 

Du ska lösa de två olikheterna

• $f''(x)\geq 0$, vilket ger dig de värden på $x$ för vilka $f(x)$ är konvex

och

• $f''(x)\leq 0$, vilket ger dig de värden på $x$ för vilka $f(x)$ är konkav.

 Så nu måste jag veta när x = 0 eller hur?

Jag har då $0=4e^{2x}-2e^x$ 

men jag har testat att lösa ut X men får ej till det. Kan du förklara hur man får ut svaret steg för steg jag fattar bättre på det viset. 

FLawLesS skrev:

Yngve skrev:

Visa föregående citat

FLawLesS skrev:

Visa föregående citat

Nej, jag vet inte vad jag ska göra härnest om jag ska räkna ut x när den är 0 eller om jag ska bara stoppa in värden i andraderivatans funktion och gissa mig framm. 

Du ska lösa de två olikheterna

• $f''(x)\geq 0$, vilket ger dig de värden på $x$ för vilka $f(x)$ är konvex

och

• $f''(x)\leq 0$, vilket ger dig de värden på $x$ för vilka $f(x)$ är konkav.

 Så nu måste jag veta när x = 0 eller hur?

Jag har då $0=4e^{2x}-2e^x$ 

men jag har testat att lösa ut X men får ej till det. Kan du förklara hur man får ut svaret steg för steg jag fattar bättre på det viset. 

 $e^x·e^x=e^{2x}$ alltså kan vi faktorisera utt $e^x$ 

$e^x\left(4e^x-2\right)=0$ och $e^x$ kan inte vara lika med noll alltså är $$\begin{gathered} 4e^x-2=0 \\ 4e^x=2 \\ {e}^x=0.5 \\ x=\ln (0.5) \end{gathered}$$

Vi kan börja med olikheten $f''(x)\geq 0$:

$4e^{2x}-2e^{x}\geq 0$

Faktorisera vänsterledet:

$2e^x(2e^x-1)\geq 0$

Eftersom $e^x\gt 0$ för alla $x$ så måste följande gälla:

$2e^x-1\geq 0$

$e^x\geq\frac{1}{2}$

$x\geq ln(\frac{1}{2})$

$x\geq -ln(2)$

$f(x)$ är alltså konvex då $x\geq -ln(2)$

Du kan använda samma metod för att hitta de värden på $x$ för vilka $f(x)$ är konkav.

Eftersom vi vet att andraderivatan bara är noll på ett ställe dvs en inflexionspunkt där funktionen kan gå från konkav till konvex därför behöver vi bara beräkna andraderivatans värde i två punkter en då x<ln(0,5) och en då x>ln(0,5). Värdet i dessa punkter ger oss om funktionen är konkav eller konvex på vardera sidan av inflexionspunkten.