Bestämma gränsvärde/avgöra om den existerar

Jag tycker den här frågan är ganska lik, fast den inte är identisk: https://www.pluggakuten.se/trad/gransvarde-841/

Laguna skrev:

Jag tycker den här frågan är ganska lik, fast den inte är identisk: https://www.pluggakuten.se/trad/gransvarde-841/

Hm ok såg något liknande på youtube men jag fattar ej varför allt ska delas med tex 1 och sen multiplicera konjugatet av uttrycket med roten ur och ensamma ettan eller x? Vad är felet om man gör det på sättet jag tänker på? 

Så här skulle jag göra:

$$\begin{gathered} \underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt{n^2-n+1}-n \\ \underset{n\to \infty }{\lim }\frac{(n^2-n+1)-n^2}{\sqrt{n^2-n+1}+n} \\ \underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n({\displaystyle \frac{1}{n}}-1)}{n(\sqrt{1-{\displaystyle \frac{1}{n}}+{\displaystyle \frac{1}{n^2}}}+1)}=-\frac{1}{2} \end{gathered}$$

naytte skrev:

Så här skulle jag göra:

$$\begin{gathered} \underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt{n^2-n+1}-n \\ \underset{n\to \infty }{\lim }\frac{(n^2-n+1)-n^2}{\sqrt{n^2-n+1}+n} \\ \underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n({\displaystyle \frac{1}{n}}-1)}{n(\sqrt{1-{\displaystyle \frac{1}{n}}+{\displaystyle \frac{1}{n^2}}}+1)}=-\frac{1}{2} \end{gathered}$$

Hänger ej med på de sista stegen och sen fick jag ej min fråga besvarad.  Det låter som att olika sätt gör att vi får olika gränsvärde

Jag förstår inte riktigt din fråga. Hur menar du att du ska "dela allt med n²"?

naytte skrev:

Jag förstår inte riktigt din fråga. Hur menar du att du ska "dela allt med n²"?

Jag menar att vi ska dela det som är under roten ur med n^2 samt n som är utanför rotuttrycket dvs den där sqrt(n^2-n+1)-n. I ditt fall gör du ej det och jag förstår ej varför man ska angripa på det sättet du gör och varför mitt sätt är nu fel? 

Du kan inte bara dela med saker, du kan ju inte ändra själva gränsvärdet. Eller skulle du kunna visa hur du menar?

naytte skrev:

Du kan inte bara dela med saker, du kan ju inte ändra själva gränsvärdet. Eller skulle du kunna visa hur du menar?

Det här var hur jag angrep uttrycket. Hur gör man istället och varför är mitt sätt felaktigt?

$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt{n^2-n+1}-n\ne \underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt{1-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}-\frac{1}{n}$

Såhär menade jag.  Varför är det fel? 

naytte skrev:

$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt{n^2-n+1}-n\ne \underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt{1-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}-\frac{1}{n}$

Det kanske är fel tolkning jag vet ej,men jag tänker mig det som är under roten ur är egen uttryck tillsammans med n. Varför det förändrar uttrycket när man delar med n^2 förstår jag ej? Är detta något som endast gäller vid roten ur funktioner? Att de är olika ser jag. 

Du kan inte modifiera ett uttryck och förvänta dig att resultatet ska vara samma sak. Om jag har 1 och sedan delar det med 2 kommer jag ju ha ändrat på mitt uttryck. På samma sätt som $x^2\ne \frac{x^2}{2}$.

naytte skrev:

Du kan inte modifiera ett uttryck och förvänta dig att resultatet ska vara samma sak. Om jag har 1 och sedan delar det med 2 kommer jag ju ha ändrat på mitt uttryck. På samma sätt som $x^2\ne \frac{x^2}{2}$.

Ja det förstår jag. Det där exemplet du väljer är enkelt o se att de är olika och x^2 blir förändrad vid division. Men nu har vi roten ur funktioner vilket verkar speciellt.. 

Men nu har vi roten ur funktioner vilket verkar speciellt.. 

Det är det inte.

naytte skrev:

Men nu har vi roten ur funktioner vilket verkar speciellt.. 

Det är det inte.

Nej okej men som jag förstår det ska man iaf göra som du gjorde ovan och man kan säkert kontrollera att det är ekvivalent med ursprung funktionen. Jag hängde ej med på de sista stegen. Gick lite fort där..

$$\begin{gathered} \underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt{n^2-n+1}-n \\ \underset{n\to \infty }{\lim }\frac{(n^2-n+1)-n^2}{\sqrt{n^2-n+1}+n} \\ \underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1-n}{\sqrt{n^2(1-{\displaystyle \frac{1}{n}}+{\displaystyle \frac{1}{n^2}})}+n} \\ \underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1-n}{\left|n\right|\sqrt{(1-{\displaystyle \frac{1}{n}}+{\displaystyle \frac{1}{n^2}})}+n} \\ \underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n({\displaystyle \frac{1}{n}}-1)}{n(\sqrt{1-{\displaystyle \frac{1}{n}}+{\displaystyle \frac{1}{n^2}}}+1)}=-\frac{1}{2} \end{gathered}$$

naytte skrev:

$$\begin{gathered} \underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt{n^2-n+1}-n \\ \underset{n\to \infty }{\lim }\frac{(n^2-n+1)-n^2}{\sqrt{n^2-n+1}+n} \\ \underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1-n}{\sqrt{n^2(1-{\displaystyle \frac{1}{n}}+{\displaystyle \frac{1}{n^2}})}+n} \\ \underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1-n}{\left|n\right|\sqrt{(1-{\displaystyle \frac{1}{n}}+{\displaystyle \frac{1}{n^2}})}+n} \\ \underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n({\displaystyle \frac{1}{n}}-1)}{n(\sqrt{1-{\displaystyle \frac{1}{n}}+{\displaystyle \frac{1}{n^2}}}+1)}=-\frac{1}{2} \end{gathered}$$

Mycket bättre.  Tack så jättemycket!