Bestämma gränsvärde

I sista steget är du redan klar. Förkorta $h$ så har du kvar $\lim_{h\rightarrow 0^+}\dfrac{1}{\sqrt{3+h}+\sqrt{3}}$. Nu kan du argumentera varför $\lim_{h\rightarrow 0} \sqrt{3+h}=\sqrt{3}$.

Edit: Såg att du missat att du multiplicerat hela parentesen i tredje steget med $h$. Det blir alltså $h\sqrt{3+h}+h\sqrt{3}$ och inte $h\sqrt{3+h}+\sqrt{3}$.

Varför multiplicerade du med $\sqrt{3 +h} + \sqrt{3}$? Du gör detta av två skäl varav du förmodligen är medveten om den första

1. Produkten  $$(\sqrt{3+h} - \sqrt{3})(\sqrt{3+h} + \sqrt{3}) = 3 + h - 3  = h$$ har en form vars gränsvärde är en enklare form där dess beteende när h går mot 0 är enklare att analysera

men också

2. Själva faktorn $\sqrt{3 +h} + \sqrt{3}$ har ett enkellt gränsvärde

 $\lim_{h \to 0}\sqrt{3 +h} + \sqrt{3}= \sqrt{3 +0} + \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$

så samtidigt som denna faktor förenklar situationen i täljaren så är uttrycket när det tillförs till nämnaren okomplicerat.

Resultat:

Nu när du har

$\frac{h}{h(\sqrt{3 +h} + \sqrt{3})}$ så kan du stryka h ur täljare och nämnare och få

$\frac{1}{\sqrt{3 +h} + \sqrt{3}}$

Men sedan kvarstår endast att ta gränsvärdet av den "enkla faktorn" i nämnaren och man får

$\lim_{h \to 0}\frac{1}{\sqrt{3 +h} + \sqrt{3}} = \frac{1}{2\sqrt{3}}$

Nu förstår jag. Ibland kan man verkligen stirra sig blind. Tack för förklaringen!