Bestämma funktionen till andragradsfunktion

Standardfråga 1a: Har du ritat?

Du vet att funktionen tangerar x-axeln men inte har några negativa värden. Det betyder att funktionen har en dubbelrot och det är väldigt lätt att skriva funktionen på formen $y=k(x-x_0{)}^2$ där $x_0$ är det x-värde som ger y = 0 och k kan bestämmas eftersom man vet att y(0) = 4. Om du vill ha funktionen på formen $y=a{x}^2+bx+c$ kan du multiplicera ihop parenteserna och förenkla.

Tack för svar, jag har satt ut koordinaterna x=(4,0) och y=(0,4) i en graf, men jag vet inte riktigt hur jag ska göra sen för att skriva ner det som en funktion. kan jag alltså ta: (4,0)*(0,4) för att få fram formen f(x)=ax^2+bx+c?

Det jag får fram är y=4x^2 vad gör jag med +bx+c?

Jag tyckte verkligen det här var jätte svårt, hittar inga exempel på hur man ska räkna heller.. 

Hej

Nej inte riktigt, vissa istället hur du går tillväga så blir det lättare att hjälpa dig! Vi kan testa med ett villkor som du har fått från uppgiften: funktion gå igenom $\left(0,4\right)$ och $4·0^2\ne 4$.

Om vi går tillbaka till formen Smaragdalena skrev: $y=k(x-x_1{)}^2$. Vi vet redan att $x_1=4\Rightarrow y=k(x-4{)}^2$, nu behöver vi endast ta reda på $k$ är. Nu använder oss av det andra villkoret $(0,4)$ vilket ger oss ekvationen:

$4=k(0-4{)}^2$, kommer du vidare nu? 

Jag prövade:

4 = k (0-4)^2

tog bort 0 vilket gav -4^2 som blir en positiv bas eftersom exponenten är positiv

4 = k • 4^2 ger 4 = k • 16 som ger 4 = 16k

Sedan bytte jag plats och dividerade båda leden med 16 alltså 16/16=4/16 som blir 1/4 och 1/4 är ju 0.25

4 = 0.25•(0-4)^2 ??

men är det ”svaret” på uppgiften? Är det funktionen? 

Tack för hjälp

Nej. Du kan skriva funktionen på formen$y\left(x\right) = k(x-x_0{)}^2$. Du har kommit fram till vad $x_0$ och $k$ är. Sätt in de värdena i formeln, så är du klar.

Men är inte den formen derivata? vi läser inte det i matte 2, försöker hitta den formen i mina läromedel men jag hittar inte den, söker jag på den formen får jag bara upp matte 3.

Det enda vi läst i detta kapitel är formen: f(x) = ax2 + bx + c och f(x) = ax2 + bx + c

"formen derivata?" vad menar du nu? Du kan alltid utveckla ditt uttryck så kommer du se att den kan skrivas på formen: 

$f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$ 

Formeln för derivata skulle jag skriva, haha ursäkta jag är så trött i huvudet nu :P 

Det jag menar är att vi endast fått läsa om dessa två formler,  och jag skulle kunna lösa det från andra hållet men på nått sätt så kan jag inte lösa det när jag vet rötterna redan. 

Jag känner mig så jäkla trög just nu, för ni förklarar säkert jätte bra och jag fattar inte. 

Nej, det här har inget med derivata att göra.

Man kan skriva en andragradsfunktion på flera sätt, t ex $y\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$ eller $y\left(x\right)=k(x-x_1)(x-x_2)$ eller $y\left(x\right)=k(x-x_0)+m$. Det går att skriva om en av formlerna till en annan, om man vill. I de här formlerna är $x_1$ och $x_2$ nollställen, $x_0$ är symmetrilinjen och a, b, c, k och m är konstanter.

I din uppgift är det enklast att använda den andra varianten, men eftersom du vet att du har en dubbelrot blir $x_1=x_2$ så  jag kallade det $x_0$ istället.

RebeckaFerdinand skrev :

Formeln för derivata skulle jag skriva, haha ursäkta jag är så trött i huvudet nu :P 

Det jag menar är att vi endast fått läsa om dessa två formler,  och jag skulle kunna lösa det från andra hållet men på nått sätt så kan jag inte lösa det när jag vet rötterna redan. 

Jag känner mig så jäkla trög just nu, för ni förklarar säkert jätte bra och jag fattar inte. 

 Det är inte det lättaste sättet, men det går bra att använda $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$

De två punkterna ger dig följande information:

Punkten (0, 4): Om du sätter x = 0 ska f(x) bli 4. f(x) ger dig y-värdet.

Då kan man skriva:

$4=a*0^2+b*0+c$

c = 4

Då har vi bestämt c, och kan skriva din funktion $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+4$

Punkten (4, 0) ger att om du sätter x = 4 ska f(x) bli 0

Då kan man skriva:

$$\begin{gathered} 0=a*4^2+b*4+4 \\ 0=16a+4b+4 \\ 0=4a+b+1 \end{gathered}$$

Sedan vet du att kurvan tangerar x-axeln. Det betyder att ekvationen $a{x}^2+bx+4=0$ har en dubbelrot. När en andragradsekvation har en dubbelrot är det som står under rottecknet i pq-formeln = 0, och lösningen ges av det som står innan rottecknet. Då kan vi lösa den med pq-formeln:

$$\begin{gathered} a{x}^2+bx+4=0 \\ {x}^2+\frac{b}{a}x+\frac{4}{a}=0 \\ x=-\frac{b}{2a}\pm \sqrt{{\left(\frac{b}{2a}\right)}^2-\frac{4}{a}} \end{gathered}$$

Kurvan tangerar x-axeln i punkten 4, och alltså är dubbelroten 4. Då får man:

$$\begin{gathered} -\frac{b}{2a}=4 \\ -b=8a \\ b=-8a \end{gathered}$$

Nu kan jag byta ut b mot -8a i den förra ekvationen:

$$\begin{gathered} 0=4a+b+1 \\ 0=4a-8a+1 \\ 0=-4a+1 \\ 4a=1 \\ a=\frac{1}{4} \end{gathered}$$

Och sedan b:

$b=-8a=-8*\frac{1}{4}=-2$

Så nu har du:

$f\left(x\right)=\frac{1}{4}{x}^2-2x+4$

Men det finns lättare sätt. Det enklaste tycker jag är att skriva andragradsfunktionen på formen

$f\left(x\right)=k(x-x_1)(x-x_2)$

Här är $x_1$ och $x_2$ de punkter där den skär x-axeln. Om den tangerar x-axeln är de samma, så i din uppgift blir det:

$f\left(x\right)=k(x-4)(x-4)=k(x^2-8x+16)$

Nu är det bara k kvar. Punkten (0, 4) ger:

$$\begin{gathered} 4=k(0^2-8*0+16)=16k \\ k=\frac{4}{16}=\frac{1}{4} \end{gathered}$$

Sedan multiplicerar man in:

$f\left(x\right)=\frac{1}{4}(x^2-8x+16)=\frac{1}{4}{x}^2-2x+4$

Helt klart ett lättare sätt!

Tack så jätte mycket, satt precis och skrev på formen f(x)=k(x-x)(x-x)

Skönt att se att det blir rätt :D tack!!!!