Bestämma entalssiffran

Hej!

Någon som kan titta så att jag har tänkt rätt? Frågan: Bestäm entalssiffran i talet 17^100 - 100*17.

Jag började med att skriva upp: 7^0, 7^1, 7^2, 7^3, 7^4, 7^5, ... (ja, ni förstår). Jag fortsatte till 7^10. Mönstret för dessa entalssiffror blev: 1, 7, 9, 3, 1, 7, 9, 3, … Sedan dividerade jag 100 med 4 och fick kvoten 25, ingen rest med andra ord. Alltså borde entalssiffran bli 1. Vad hände med 100^17 undrar ni? Jo, jag tänker att 100^17 = 1000000000 (och ännu fler nollor). Gör man division med uppställning (vilken man egentligen inte behöver göra med detta gigantiska tal, men vi föreställer oss det iaf) så kommer ju nollorna inte påverka talets siffror i slutet.

Mitt svar enl. ovanstående resonemang är således att entalssiffran är 1. Vad tycker ni? Låter det korrekt?

Svaret är rätt, och resonemanget är väl delvis godtagbart. Jag tycker det saknas lite motivering om varför det där mönstret i entalssiffror uppstår. Du observerar det och antar att det gäller för alla andra tal, något som inte utgör ett särskilt rigoröst resonemang.

Jag skulle föredra ett resonemang med kongruenslagarna. Det finns nämligen något ganska elegant man kan göra.

Jag försökte göra med kongruens, men kom inte så långt. Har du några tips på hur jag kan börja?

Jag fick:

17^100 ≡ n (mod 4) ---> 1^100 ≡ n (mod 4) ----> n = 1

Men jag vet inte om det är relevant?

Entalssiffran är ju resten modulo $10$ . Försök därför att beräkna:

$17^{100}-100\cdot17\ \pmod{10}$

Är problemet

17¹⁰⁰ - 100¹⁷ eller

17¹⁰⁰ - 100 x 17.

Spelar kanske mindre roll för slutresultatet, men ändock.

Inser att jag har råkat skriva fel, uppgiften är: 17^100 - 100^17.

Ska jag då beräkna: 17^100 − 100^17 (mod10) ?

PluggaSmart skrev:
Inser att jag har råkat skriva fel, uppgiften är: 17^100 - 100^17.

Ska jag då beräkna: 17^100 − 100^17 (mod10) ?

Ja. Resten modulo 10 är ju entalssiffran. Det är du med på, eller hur?

Inte helt, nej :/

Okej.

Alla heltal kan skrivas som en tiomultipel plus deras entalssiffra. Några exempel:

$15=10+5$

$782=10\cdot78+2$

$9183=10\cdot918+3$

Kongruenslagarna ger att tiomultiplerna är kongruenta med noll modulo 10. Alltså får vi:

$15=10+5\equiv5\ \pmod{10}$

$782=10\cdot78+2\equiv2\ \pmod{10}$

$9183=10\cdot918+3\equiv3\ \pmod{10}$

Vi får alltså att resten modulo 10 är samma sak som entalssiffran i talet. Därför kan vi beräkna entalssiffran i talet $17^{100}-100^{17}$ genom att ta reda på resten modulo 10. Försök att tillämpa kongruenslagarna på detta och se hur långt du kommer.

Svara

Visa senaste svar