Bestämma en till lösning till ekvationen m.h.a ett ekvationssystem

De menar väl att du ska sätta in talparen, ett i taget, i ekvationen för att få tre ekvationer med A, B och C som obekanta.

Vilket är ett krångligt sätt att få fram en fjärde lösning.
Man ser genast att en sådan är x=6; y=-6.
Eller att ekvationen kan skrivas y = -4x/3 + 2 eller 4x + 3y - 6 = 0.
Vi har ju k = (-2-2)/(3-0) = -4/3 och m = 2.

Som vanligt skulle jag ha börjat med att rita (in de tre talparen i ett koordinatsystem). 

De menar väl att du ska sätta in talparen, ett i taget, i ekvationen för att få tre ekvationer med A, B och C som obekanta.

Jag får problem att lösa det systemet. När jag försöker eliminera någon av variablerna får jag identiska ekvationer. Är det något annat som avses?

Vi kan använda de tre lösningarna för att bestämma värdena för A, B och C i ekvationen Ax + By + C = 0. För att göra detta, sätter vi in varje lösning i ekvationen och löser efter de obekanta värdena.

Exempel för första lösningen:

$A(-3) + B(6) + C = 0$

$-3A + 6B + C = 0$

Vi gör samma sak för de andra två lösningarna:

$A(0) + B(2) + C = 0$

$2B + C = 0$

$A(3) + B(-2) + C = 0$

$3A - 2B + C = 0$

Nu har vi tre ekvationer med A, B och C som obekanta. Vi kan lösa detta ekvationssystem genom att använda substitutionsmetoden.

$\left\{\begin{array}{ll}3A-2B+C=0& \\ 2B+C=0& \\ -3A+6B+C=0& \end{array}\right.$$$\begin{gathered} \to \left(3A-2B+C\right)+\left(2B+C\right)+\left(-3A+6B+C\right)=0+0+0 \\ \to 6B+3C=0 \\ \to B=\frac{-3}{6}C=-0.5C \\ 3A=2B-C\leftrightarrow A=\frac{2B-C}{3}\leftrightarrow A=\frac{2\left(-0.5C\right)-C}{3}\leftrightarrow A=\frac{-2C}{3} \end{gathered}$$

Använd det vi nu vet om A, C, och B, för att bestämma den fjärde lösningen till ekvationssystemet. 

Tips:

Vad menar du med "den fjärde lösningen till ekvationssystemet"?
De frågar efter en fjärde lösning till ekvationen, vilket jag tolkade som att bestämma en godtycklig fjärde punkt på linjen.

Jag tänkte fel (eller inte alls) i början, då jag föreställde mig att ekvationssystemet direkt skulle ge bestämda värden på A, B och C. Men sådana finns ju inte om man inte preciserar till minsta heltalsvärden. Som Danil63 visade kan man uttrycka A och B i C, insatta i ekvationen försvinner C, och man kan skriva om ekvationen med heltalsvärden på A, B och C.

Jag funderade inte så mycket på det eftersom jag inte förstod vitsen med att alls ställa upp ett ekvationssystem för att bestämma linjen och punkter på den. När det nu var mycket enklare att bestämma den som y = kx + m (som om man så önskar kan skrivas om som Ax + By + C = 0). Ja, inte ens det behövs för att bestämma en fjärde punkt. Handlar det om att visa att man kan gå omvägen över ett ekvationssystem med A, B och C? Jag tycker uppgiften är oklar.

Tillägg: 31 jan 2023 18:18

För att bestämma ekvationen/linjen med ett ekvationssystem med A, B och C räcker två av ekvationerna.