Bestämma en matris

Låt $V$ vara mängden av alla vektorer i rummet, låt $\mathbf{e}=(\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3)$ vara en positivt orienterad ON-bas i rummet, sätt $\mathbf{a}=\mathbf{e}_1+\mathbf{e}_2+\mathbf{e}_3$ , och definiera den linjära avbildningen $F$ på $V$ genom att sätta $F(\mathbf{v})=\mathbf{v}+(\mathbf{a}\times \mathbf{v})$ för alla $\mathbf{v}\in V$ . Bestäm matrisen $A$ för $F$ i basen $\mathbf{e}$ .

Jag tror jag inte förstår vad de olika sakerna betyder här. Om $\mathbf{v}$ är en godtycklig vektor $(x,y,z)$ så tänker jag att vektorprodukten $\mathbf{a}\times \mathbf{v}$ är $\begin{vmatrix}e_{1} & e_{1} & x \ e_{2} & e_{2} & y \ e_{3} &e_{3} & z\end{vmatrix}$ , vilket är noll-vektorn.

I så fall ger $F(\mathbf{v})=\mathbf{v}+(\mathbf{a}\times \mathbf{v})$ tillbaka $\mathbf{v}$ och då är $A$ enhetsmatrisen. Men det är fel svar.

Visa steg för steg hur du tog fram kryssprodukten! Det brukar inte finnas några e_n i den. Hur ser vektorn a ut?

Tack för svar! (och snabbt!) Jag råkade publicera frågan fast jag upptäckte min enkla miss, jag tolkade $\mathbf{a}$ som att betyda $(e_{1}, e_{2}, e_{3})$ men jag tror det ska vara $(1, 1, 1)$ . Men jag får ändå inte till det även om jag kommer närmare svaret när jag skriver $\begin{vmatrix} e_{1} & 1 & x \\ e_{2} & 1 & y \\ e_{3} & 1 & z \end{vmatrix} = e_{1}(z-y) -e_{2}(z-x)+e_{3}(y-x)$ . $\mathbf{v}+\mathbf{a} \times \mathbf{v}$ blir då $(x-y+z,x+y-z,-x+y+z)$ , vilket kan skrivas som $(x, y, z) \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}$ . Men svaret ska vara $\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ .

Andreas Wartel skrev:

blir då $(x-y+z,x+y-z,-x+y+z)$ , vilket kan skrivas som

Så långt allt väl. Nu vill de att du ska skriva matrisen $A$ så att $A\mathbf{v}=\mathbf{v}+\mathbf{a}\times\mathbf{v}$ , dvs finn $A$ så att:

$A\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x-y+z\\x+y-z\\-x+y+z\end{pmatrix}$

Svara

Visa senaste svar