Bestämma en längd relativistiskt, hur gå till väga?

I din tidigare tråd hade jag räknat ut att $\gamma \approx 20$, så pionens hastighet är nästan lika med c₀.

Så avståndet i partikelns egensystem blir $t_0 c_0$ men för oss blir det 20 gånger så långt. 

(Resonemanget är likadant som för myonerna från kosmisk strålning.)

l = $vt$ = $v\gamma t_0$  (1)

$\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-{\left({\displaystyle \frac{v}{c}}\right)}^2}}$ $\Rightarrow$ $v = \frac{c\sqrt{{\gamma }^2-1}}{\gamma }$   (2)

(2) i (1) ger

l = ct₀$\sqrt{{\gamma }^2-1}$   (3)

$\gamma = \frac{E_k}{m{c}^2}+1$ = 130/7 + 1 $\approx$ 19,57  i (3) => l $\approx$ 1,5 x 10² m.

PATENTERAMERA skrev:

l = $vt$ = $v\gamma t_0$  (1)

$\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-{\left({\displaystyle \frac{v}{c}}\right)}^2}}$ $\Rightarrow$ $v = \frac{c\sqrt{{\gamma }^2-1}}{\gamma }$  (2) 

Precis. 

Om jag ska göra en approximation av hastigheten kan man skriva $\dfrac{\sqrt{\gamma^2-1}}{\gamma} = \sqrt{1-\dfrac{1}{\gamma^2}} \approx 1 - \dfrac{1}{2\gamma^2}$.

Så för $\gamma \approx 20$ blir den sista termen ungefär $\dfrac{1}{800}$ och det ger att det är bara typ en promille skillnad med ljusets hastighet.

Därför funkar det i denna uppgift att ta $v \approx c_0$ i ekv (1).