Bestämma en ekvation
Bestäm en ekvation med de komplexa rötterna som är markerade i figuren.
Jag har lyckats räkna ut absolutbeloppet av roten z1 vilket är 1/2. Men hur gör jag med vinklarna? Förstår att cos v=1/4 och sin v=√3/4. Men hur omvandlar jag vinklarna till exakta grader? Enligt facit ska vinklarna vara 240 grader, och det efter att de har multiplicerads med 4, dvs v=60. Men hur går det ihop då cos 60=1/2 och sin 60=√3/2?
Rita en linje från cirkelns centrum till z1 och en linje från z1 och ner till den reella axeln. Nu har du en rätvinklig triangel... Kommer du vidare?
Menar du såhär?
För då ser man typ att punkten ligger på halva x-axeln och det skulle ju förklara varför cos v=1/2
Om du skalar om så att hypotenusan är 1 har du en enhetscirkel, och då kan du läsa av sinus och cosinus för vinkeln och förmodligen känna igen den - det är en standardvinkel.
Jaha, och det ger då cosv=1/2 och sinv= √ 3/2
Och visst känner du igen vilken vinkel det är?
Jo, π/3. Blir det då z^4=(1/2)^4(cos(4•π/3)+isin(4•π/3)) = 1/16(cos4π/3+isin4π/3)
Tycker du att det ser ut att stämma med bilden?
Jag tror det. Enligt facit ska det stämma
