Bestämma en avbildningsmatris i standardbasen

Jag hade använt att 

(1,0) = -2u - v

(0,1) = u + v

för att sedan ta fram

F(1,0) = -4u + v

F(0,1) = 2u - v

Dr. G skrev:

Jag hade använt att 

(1,0) = -2u - v

(0,1) = u + v

för att sedan ta fram

F(1,0) = -4u + v

F(0,1) = 2u - v

I så fall borde väl svaret vara $\left(\begin{array}{cc}-4& 1\\ 2& -1\end{array}\right)$? 

Men på facit står det såhär

I standardbasen så är

u = (-1,-1)

v = (1,2)

Sätt in och förenkla. 

Dr. G skrev:

I standardbasen så är

u = (-1,-1)

v = (1,2)

Sätt in och förenkla. 

Fattar inte riktigt vad jag ska förenkla! Hur vet man att u och v är givna i standardbasen om de inte anger i frågan?

Ja, frågan är lite ofullständigt formulerad. Men sunt förnuft säger att u och v är givna i samma bas i vilken man vill ha svaret. Dessutom brukar alla vektorer avse standardbasen när ingen annan bas har angivits.

T.ex. betyder $(1,2)$ samma sak som $(1,2)^T$ och det är oftast vektorn $\mathbf{e}_x+2\mathbf{e}_y$ som avses.

Om du alltså låter första kolonnen i din matris vara $F(1,0)=-4u+v$ och den andra kolonnen vara $F(0,1)=2u-v$ blir det rätt.

Jag tänkte också beskriva en annan metod som bygger på egenvärden och egenvektorer. Uppenbarligen är vektorerna $u,v$ egenvektorer till avbildningen. Och egenvärdena är $2,-1$

Matrisen för avbildningen i egenvärdesbasen är bara egenvärdena på diagonalen:

$D=\left(\begin{array}{cc}2 & 0 \\0 & -1\end{array}\right)$

Transformationsmatrisens kolonner består av egenvektorerna (den nya basen uttryckt i den gamla):

$P=\left(\begin{array}{cc}-1 & 1 \\-1 & 2 \end{array}\right)$

En 2x2-matris är enkel att invertera och i ursprungsbasen är alltså avbildningsmatrisen:

$A=PDP^{-1}= \left(\begin{array}{cc}-1 & 1 \\-1 & 2 \end{array}\right) \left(\begin{array}{cc}2 & 0 \\0 & -1\end{array}\right) \left(\begin{array}{cc}-2 & 1 \\-1 & 1 \end{array}\right)= \left(\begin{array}{cc}5 & -3 \\6 & -4 \end{array}\right)$

D4NIEL skrev:

Ja, frågan är lite ofullständigt formulerad. Men sunt förnuft säger att u och v är givna i samma bas i vilken man vill ha svaret. Dessutom brukar alla vektorer avse standardbasen när ingen annan bas har angivits.

T.ex. betyder $(1,2)$ samma sak som $(1,2)^T$ och det är oftast vektorn $\mathbf{e}_x+2\mathbf{e}_y$ som avses.

Om du alltså låter första kolonnen i din matris vara $F(1,0)=-4u+v$ och den andra kolonnen vara $F(0,1)=2u-v$ blir det rätt.

Jag tänkte också beskriva en annan metod som bygger på egenvärden och egenvektorer. Uppenbarligen är vektorerna $u,v$ egenvektorer till avbildningen. Och egenvärdena är $2,-1$

Matrisen för avbildningen i egenvärdesbasen är bara egenvärdena på diagonalen:

$D=\left(\begin{array}{cc}2 & 0 \\0 & -1\end{array}\right)$

Transformationsmatrisens kolonner består av egenvektorerna (den nya basen uttryckt i den gamla):

$P=\left(\begin{array}{cc}-1 & 1 \\-1 & 2 \end{array}\right)$

En 2x2-matris är enkel att invertera och i ursprungsbasen är alltså avbildningsmatrisen:

$A=PDP^{-1}= \left(\begin{array}{cc}-1 & 1 \\-1 & 2 \end{array}\right) \left(\begin{array}{cc}2 & 0 \\0 & -1\end{array}\right) \left(\begin{array}{cc}-2 & 1 \\-1 & 1 \end{array}\right)= \left(\begin{array}{cc}5 & -3 \\6 & -4 \end{array}\right)$

Den andra lösningsmetoden verkar vara enklare, måste träna på den! en till liten fråga, hur kan man gå vidare efter att man har hittat att 

$$\begin{gathered} F(1,0)=-4u+v \\ F(0,1)=2u-v \end{gathered}$$

Borde inte koordinaterna framför u och v motsvara avbildningsmatrisen? Hur kan man komma fram till $\left(\begin{array}{cc}5& -3\\ 6& -4\end{array}\right)$?

Tack så jättemycket för din hjälp!:)

Med $u=(-1,-1)$ och $v=(1,2)$ blir avbildningen av basvektorn $\mathbf{e}_x$

$F(1,0)=-4u+v=-4\begin{pmatrix}-1\\-1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\6\end{pmatrix}$

vilket är den första kolonnen. Nästa kolonn får du med avbildningen av den andra basvektorn $\mathbf{e}_y$ dvs $F(0,1)$

D4NIEL skrev:

Med $u=(-1,-1)$ och $v=(1,2)$ blir avbildningen av basvektorn $\mathbf{e}_x$

$F(1,0)=-4u+v=-4\begin{pmatrix}-1\\-1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\6\end{pmatrix}$

vilket är den första kolonnen. Nästa kolonn får du med avbildningen av den andra basvektorn $\mathbf{e}_y$ dvs $F(0,1)$

Juste!! Nu förstår jag. Men om vi säger att jag vill istället hitta matrisen till avbildningen i dess bas, dvs inte i standard basen, hur kan jag gå från $\left(\begin{array}{cc}5& -3\\ 6& -4\end{array}\right)$till den andra basen? 

Transformationsmatrisen för ett basbyte mellan den "nya basen", dvs egenvärdesbasen, och den gamla basen får man om man sätter matrisens kolonner som de nya basvektorerna uttryckta i den gamla basen

$Q=\left(\begin{array}{cc}-1 & 1 \\-1 & 2 \end{array}\right)$

Enligt någon sats jag hoppas ni lärt er kan man transformera en linjär avbildning till den nya basen enligt

$A^\prime=Q^{-1}AQ=\left(\begin{array}{cc}-2 & 1 \\-1 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}5 & -3 \\6 & -4 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}-1 & 1 \\-1 & 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2 & 0 \\0 & -1 \end{array}\right)$

Där den sista matrisen naturligtvis är matrisen med egenvärdena på diagonalen.