Bestämma en andragradsekvation

En annan variant är att lösa ekvationssystemet

$x_1^2+x_2^2=45$

$1/x_1+1/x_2=1/2$

Andragradsekvationen kan sedan skrivas

$k(x-x_1)(x-x_2)=0$

för godtycklig reell konstant k.

Om du kallar ena roten för $a$ och andra för $b$ har vi att vår andragradsfunktion är:

$f\left(x\right)=(x-a)(x-b)=x^2-(a+b)x+ab$

Alltså ser vi att $a+b=-p$ och $ab=q$. Informationen vi fått given ger:

$$\begin{gathered} a^2+b^2=45 \iff {(a+b)}^2-2ab=45 \iff p^2-2q=45 \\ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{2} \iff 2(a+b)=ab \iff p=-\frac{q}{2} \end{gathered}$$

Detta är samma relationer du fick fram.

Hej!

Steg 1. Om andragradsekvationen $x^2+px+q=0$ har de två lösningarna $x=a$ och $x=b$ så kan ekvationen skrivas $(x-a)(x-b)=0$. Utvecklas parenteserna får man sambandet $p=a+b$ och $q=ab$.

Steg 2. Du har fått veta att $a^2+b^2=45$ och att $\frac{1}{a}+\frac{1}{b} = \frac{1}{2}$ och vill veta vad detta innebär för $a+b$ och $ab$. Multipliceras den andra ekvationen med $ab$ fås sambandet

    $b+a=\frac{ab}{2}$.

Kvadreras detta samband får man

    $b^2+a^2+2ab=\frac{(ab)^2}{4}\iff (ab)^2-8(ab)-4\cdot 45=0$.

Steg 3. Detta är en andragradsekvation för $ab$ och uppfylls av de två möjliga produkterna $ab=4+2\cdot 7=18$ och $ab=4-2\cdot 7=-10$ vilket medför de motsvarande summorna $b+a=9$ och $b+a=-5$. 

Albiki skrev:

Hej!

Steg 1. ...

Utvecklas parenteserna får man sambandet $p=a+b$ och ...

Ett litet skrivfel. Sambandet ska såklart vara $p=-(a+b)$.