Bestämma ekvation normalform

Det blir lite fel på vägen

. $$\begin{gathered} \mathit{P}\mathit{Q}\mathbf{ }x \mathit{P}\mathit{R}\mathbf{=}\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{,}\mathbf{-}\mathbf{1}\mathbf{,}\mathbf{0}\mathbf{)} \\ \mathrm{Det} \mathrm{ger} \mathrm{dig} \mathrm{en} \mathrm{ny} \mathrm{ekvation} \mathrm{för} \mathrm{planet}. \mathrm{Ha} \mathrm{ALLTID} \mathrm{som} \mathrm{vana} \mathrm{att} \mathrm{kontrollera} \mathrm{att} \det \mathrm{stämmer}. \\ \mathrm{Du} \mathrm{hade} \mathrm{själv} \mathrm{kunnat} \mathrm{inse} \mathrm{att} \det \mathrm{är} \mathrm{fel} \mathrm{ekvation} \mathrm{för} \mathrm{planet} \mathrm{genom} \mathrm{att} \mathrm{sätta} \mathrm{in} \mathrm{P}, \mathrm{R}, \mathrm{Q} \\ \mathrm{och} \mathrm{se} \mathrm{till} \mathrm{så} \det \mathrm{stämmer} \mathrm{eftersom} \mathrm{alla} \mathrm{ligger} \mathrm{i} \mathrm{planet}. \\ \mathrm{Beräkna} \mathrm{rätt} \mathrm{ekvation} \mathrm{för} \mathrm{planet} \mathrm{och} \mathrm{kontrollera}. \end{gathered}$$

För att ta reda på vilken punkt som ligger närmst  origo i planet så finns det lite olika metoder. Dels kan du använda en punkt P=(4,2,1) som ligger i planet och beräkna skillnadsvektorn PO=(-4,-2,-1). Om du projicerar den på normalvektorn så får du en ny vektor v. Eftersom v då har sin slutpunkt i origo, så kan du ta -v för att hitta punkten i planet. 

Annars kan man bilda en linje L: (x,y,z)= (0,0,0)+tn eftersom du har en punkt O=(0,0,0) och om du vill ha den punkten i planet som ligger närmast O så vill du att linjen mellan punkten i planet och O ska vara vinkelrät. Eftersom planet och linjen skär varandra kan du då sätta in ekvationen för linjen i ekvationen för planet och få vilket parametervärde som ger dig skärningen (den sökta punkten). 


Lite rörigt kanske, men fråga om du undrar något!

Tack för de två metoderna!  Gjorde om kryssprodukten och fick samma som dig nu. Testade den första men har lite funderingar. 

Jag får linjen

L: (x,y,z) = -2(x - 4) + 1(y - 2) - 0(z - 1) = -2x + 6 + y 

Sätter jag in P, R och Q får jag inte noll?

Och ifall jag vill använda den andra metoden, vilken vektor utgår jag då från för att bilda normalvektorn?

Vill jag normera riktningsvektorn (-2,-1,0? Dvs:

$n=\frac{1}{\sqrt{2^2+1}}(-2,-1, 0) = \frac{1}{\sqrt{5}}(-2,-1, 0)$

skrållan100 skrev:

Tack för de två metoderna!  Gjorde om kryssprodukten och fick samma som dig nu. Testade den första men har lite funderingar. 

Jag får linjen

L: (x,y,z) = -2(x - 4) + 1(y - 2) - 0(z - 1) = -2x + 6 + y 

Sätter jag in P, R och Q får jag inte noll?

Då har du räknat fel på din konstant D (Ax+By+Cz+D=0)

Normalen till planet är n=(-2,-1,0), så -2x-y+D=0. Använt punkten P=(4,2,1) som ligger i planet: $-2*4 - 2 + D=0\iff D=10$

Så du får planet $-2x-y+10=0\iff 2x+y=10$

Kontroll: Q=(5,0,2) $$\begin{gathered} VL: 2*5=10 \\ HL: 10 \\ VL=HL, OK \end{gathered}$$

Kontroll: R=(3,4,1) $$\begin{gathered} VL: 2*3+4=10 \\ HL: 10 \\ VL=HL, OK \end{gathered}$$

För den första metoden behöver du inte bilda någon linje, då jobbar du enbart med vektorer. 
$$\begin{gathered} \mathit{P}\mathit{O}\mathbf{=}\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{4}\mathbf{,}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{,}\mathbf{-}\mathbf{1}\mathbf{)} \\ \mathit{P}{\mathit{O}}_{\mathbf{/}\mathbf{/}\mathbf{n}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{4}\mathbf{,}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{,}\mathbf{-}\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{·}\mathbf{(}\mathbf{2}\mathbf{,}\mathbf{1}\mathbf{,}\mathbf{0}\mathbf{)}}{\mathbf{(}\mathbf{2}\mathbf{,}\mathbf{1}\mathbf{,}\mathbf{0}\mathbf{)}\mathbf{·}\mathbf{(}\mathbf{2}\mathbf{,}\mathbf{1}\mathbf{,}\mathbf{0}\mathbf{)}}\mathbf{(}\mathbf{2}\mathbf{,}\mathbf{1}\mathbf{,}\mathbf{0}\mathbf{)}\mathbf{=}\mathbf{.}\mathbf{.}\mathbf{.}\mathbf{=}\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{4}\mathbf{,}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{,}\mathbf{0}\mathbf{)} \end{gathered}$$
Den vektorn är enligt skissen ovan v om du tänker dig att v har spetsen i O. För att få reda på punkten i planet så tar du -v så får du punkten. (kontrollera alltid sen att den funna punkten ligger i planet genom att sätta in den i planets ekvation)

Metod 2:

Du vill att linjen ska vara ortogonal mot planet för att hitta närmaste punkten så 
$L:(x,y,z)=(0,0,0)+t\mathit{n}\mathbf{ } dvs (x,y,z)=(0,0,0)+t(2,1,0)$

Enligt skissen ovan så är skärningspunkten R den punkt vi söker. 

Jag vet inte riktigt hur man gör ett ekvationssystem i mathtype men linjen kan ju skrivas som {x=2t, y=t, z=0
Om du sätter in dessa i planets ekvation får du det t som ger dig punkten R. 

Det finns ingen anledning att normera normalvektorn.