Bestämma den tredje sidan av en triangel

Det finns tre satser som brukar vara hjälpsamma med trianglars sidlängder och vinklar, sinussatsen, cosinussatsen och areasatsen. Vilken tror du kan vara klokt att använda sig av i detta fall?

Ingen aning om jag ska vara helt ärlig.

Fredrik8 skrev:

Ingen aning om jag ska vara helt ärlig.

 Hej

Jag antar att du har lärt dig någon av dom från gymnasiet? Eller det du håller på att studera nu. Är du bekant med cosinussatsen? Om svaret är nej kan du läsa om det här. Gå tillbaka sen till ditt problem och lösa det, om det inte går så fråga igen vad som är oklart.

Det går även med sinussatsen här i två steg, men finns risk för att det blir bökiga siffror med tanke på att du ska räkna exakt.

jonis10 skrev:

Fredrik8 skrev:

Ingen aning om jag ska vara helt ärlig.

 Hej

Jag antar att du har lärt dig någon av dom från gymnasiet? Eller det du håller på att studera nu. Är du bekant med cosinussatsen? Om svaret är nej kan du läsa om det här. Gå tillbaka sen till ditt problem och lösa det, om det inte går så fråga igen vad som är oklart.

 Har bara läst matematik A på gymnasiet sedan har jag kompletterat via komvux upp till matematik 3b men även där ingår inte denna typ av matematik :P. Just nu läser jag på högskola och just matematiken är den biten som jag har svårt för.

I alla fall så här långt kommer jag med cosinussatsen: $b^{2 }=28 -4\sqrt{7} \times \cos \left(B\right)$ om vi säger att b är x i figuren ovan. Hur går jag vidare? Både b och vinkeln för B är okänt.

Okej jag förstår, nja du gör det lite för komplicerat vi vet ju redan en vinkel som vi kan använda oss av vi kan kalla den för $\alpha =\frac{\mathrm{\pi }}{3}$. Detta ger dig ekvationen: ${\left(\sqrt{7}\right)}^2=x^2+2^2-2·2·x\cos \left(\alpha \right)$. Kommer du vidare?

jonis10 skrev:

Okej jag förstår, nja du gör det lite för komplicerat vi vet ju redan en vinkel som vi kan använda oss av vi kan kalla den för $\alpha =\frac{\mathrm{\pi }}{3}$. Detta ger dig ekvationen: ${\left(\sqrt{7}\right)}^2=x^2+2^2-2·2·x\cos \left(\alpha \right)$. Kommer du vidare?

 $$\begin{gathered} 7 = x^2+4-4\times x\cos \left(A\right) \\ 7 = x^2 \times x\cos \left(A\right) \\ {x}^2 = \frac{7}{x\cos \left(A\right)}{ \\ }^{x^2 = \frac{7}{{\displaystyle x\times \frac{1}{2}}}} \\ \frac{x^2}{{\displaystyle \frac{1}{2}}}=\frac{7}{x} \\ x = \frac{7}{x} \\ {x}^2 = 7 \\ x = \pm \sqrt{7} \end{gathered}$$

Låter detta rimligt?

På andra steget blir det fel. $4$ kan inte ta ut $-4\cdot x \cos(\alpha)$, eftersom fyran är multiplicerad med cosinustermen. Eftersom du vet att $\cos(\alpha)=\frac{1}{2}$ kan du istället bara sätta in det i den ursprungliga ekvationen:

$7=x^2+4-4x \cdot \dfrac{1}{2}$

Detta är en andragradsekvation. Kommer du ihåg hur man löser en sådan?

AlvinB skrev:

På andra steget blir det fel. $4$ kan inte ta ut $-4\cdot x \cos(\alpha)$, eftersom fyran är multiplicerad med cosinustermen. Eftersom du vet att $\cos(\alpha)=\frac{1}{2}$ kan du istället bara sätta in det i den ursprungliga ekvationen:

$7=x^2+4-4x \cdot \dfrac{1}{2}$

Detta är en andragradsekvation. Kommer du ihåg hur man löser en sådan?

 Okej måste ha slarvat. Ja. Jag får inte använda pq-formeln så kvadratkomplettering?

Fredrik8 skrev:

AlvinB skrev:

På andra steget blir det fel. $4$ kan inte ta ut $-4\cdot x \cos(\alpha)$, eftersom fyran är multiplicerad med cosinustermen. Eftersom du vet att $\cos(\alpha)=\frac{1}{2}$ kan du istället bara sätta in det i den ursprungliga ekvationen:

$7=x^2+4-4x \cdot \dfrac{1}{2}$

Detta är en andragradsekvation. Kommer du ihåg hur man löser en sådan?

 Okej måste ha slarvat. Ja. Jag får inte använda pq-formeln så kvadratkomplettering?

 Varför får du inte använda PQ-formeln?

Visst, kvadratkomplettering funkar, men PQ-formeln är smidigare.

xAlvinB skrev:

Fredrik8 skrev:

AlvinB skrev:

På andra steget blir det fel. $4$ kan inte ta ut $-4\cdot x \cos(\alpha)$, eftersom fyran är multiplicerad med cosinustermen. Eftersom du vet att $\cos(\alpha)=\frac{1}{2}$ kan du istället bara sätta in det i den ursprungliga ekvationen:

$7=x^2+4-4x \cdot \dfrac{1}{2}$

Detta är en andragradsekvation. Kommer du ihåg hur man löser en sådan?

 Okej måste ha slarvat. Ja. Jag får inte använda pq-formeln så kvadratkomplettering?

 Varför får du inte använda PQ-formeln?

Visst, kvadratkomplettering funkar, men PQ-formeln är smidigare.

Minns inte anledningen varför men har för mig att alla tal inte går att lösas med hjälpa av PQ-formeln eller så vill läraren bara att man ska göra sig bekväm med kvadratkomplettering. Så här har det gått btw, sorry för sent svar.

$$\begin{gathered} 7 = x^2 +4 -4x \times \frac{1}{2} \\ {x}^2 - 2x -3 = 0 \\ {x}^2 + 2 \times (-x) +1 -1 +(-3) = \\ (x - 1{)}^2 - 4 = \\ (x - 1{)}^2 = 4 = \\ \sqrt{(x - 1{)}^2} = 4 = \\ x - 1 = \pm 2 = \\ x = \pm 3 \\ Svar: sidan x är 3 cm lång \end{gathered}$$

Väldigt nära!

På sista steget blir det fel. När man adderar ett på båda sidor i

$x-1=\pm 2$

får man

$x-\cancel{1+1}=1\pm 2$

$x=1 \pm 2$

vilket ger lösningarna $x_1=3$ och $x_2=-1$. Eftersom längder inte kan vara negativa är $x=3$.

Bara så att du vet, alla ekvationer som går att lösa med kvadratkomplettering går att lösa med pq-formeln. Faktum är att pq-formeln är samma sak som kvadratkomplettering fast man redan gjort alla beräkningar på förhand, så man bara behöver sätta in värden i en formel.

AlvinB skrev:

Väldigt nära!

På sista steget blir det fel. När man adderar ett på båda sidor i

$x-1=\pm 2$

får man

$x-\cancel{1+1}=1\pm 2$

$x=1 \pm 2$

vilket ger lösningarna $x_1=3$ och $x_2=-1$. Eftersom längder inte kan vara negativa är $x=3$.

Bara så att du vet, alla ekvationer som går att lösa med kvadratkomplettering går att lösa med pq-formeln. Faktum är att pq-formeln är samma sak som kvadratkomplettering fast man redan gjort alla beräkningar på förhand, så man bara behöver sätta in värden i en formel.

 Okej, läraren vill väl inte att vi ska ha det så enkelt. Tack för all hjälp!