Bestämma den allmänna lösningen till differentialekvationen (Matematik/Matte 5/Differentialekvationer)

Lös motsvarande homogena diffekvation.

Vilken form tror du att partikulärlösningen har?

smaragdalena skrev :
Lös motsvarande homogena diffekvation.
Vilken form tror du att partikulärlösningen har?

Jag får det till detta men vet inte om det stämmer:

y''+4y'+5y=25

y''+4y'+5y-25=0

Karaktäristik ekvation: r^2+4r+5-25=0

r^2+4r - 20=0

PQ-formeln ger lösningarna -2+ $\sqrt{24}$ samt -2- $\sqrt{24}$

Kan det stämma?

Tack för din hjälp!

Att lösa motsvarande homogena diffekvatione betyder att ta fram lösningen till diffekvationen y''+4y'+5y = 0.

Att hitta en partikulärlösning betyder att hitta EN lösning till diffekvationen y''+4y'+5y = 25. Om du sedan adderar de båda lösningarna, får du alla lösningar till den inhomogena diffekvationen. (Om du väljer olika varianter av partikulärlösningen, kommer detta att kompenseras med att man behöver ge olika värden på konstanten som dyker upp.)

Det är alltså en annan andragradsekvation du behöver lösa.

Det blir allmänna + partikulära

smaragdalena skrev :
Att lösa motsvarande homogena diffekvatione betyder att ta fram lösningen till diffekvationen y''+4y'+5y = 0.
Att hitta en partikulärlösning betyder att hitta EN lösning till diffekvationen y''+4y'+5y = 25. Om du sedan adderar de båda lösningarna, får du alla lösningar till den inhomogena diffekvationen. (Om du väljer olika varianter av partikulärlösningen, kommer detta att kompenseras med att man behöver ge olika värden på konstanten som dyker upp.)
Det är alltså en annan andragradsekvation du behöver lösa.

Okej! Då borde den motsvarande homogena differentialekvationen bli:

y''+4y'+5y = 0

Karaktäristisk ekvation: r^2 + 4y + 5 = 0

PQ-formeln ger lösningarna r = -2 + i samt r = -2 - i

Lösningen till den motsvarande homogena differentialekvationen blir:

y = Ce(−2+i)x+De(−2−i)x

Partikulärlösningen borde då bli yp''+4p′+5yp = 25 men hur löser man denna?

Är väldigt tacksam för hjälpen!

Jag skulle chansa på att det fungerar med ett polynom. Vilken grad måste polynomfunktionen minst ha för att inte allt skall ha försvunnit när du deriverar den två gånger?

smaragdalena skrev :
Jag skulle chansa på att det fungerar med ett polynom. Vilken grad måste polynomfunktionen minst ha för att inte allt skall ha försvunnit när du deriverar den två gånger?

Jag tänker att det måste minst vara ett andragrads polynom.

y''+4y'+5y=25

y''+4y'+5y - 25 = 0

Om jag deriverar en gång får jag följande:

2y + 4y + 5 = 0.

Kan det stämma?

Skriv ett andragradspolynom (med bokstäver som koefficienter), derivera det 2 ggr och sätt in funktionen och derivatorna i diffekvationen. Klura ut vilka värden bokstäverna skall ha för att det skall stämma.

smaragdalena skrev :
Skriv ett andragradspolynom (med bokstäver som koefficienter), derivera det 2 ggr och sätt in funktionen och derivatorna i diffekvationen. Klura ut vilka värden bokstäverna skall ha för att det skall stämma.

Funderade på det lite och fick det till följande:

$y = a x^{2} + b x + c$

$y^{'} = 2 a x + b$

$y'' = 2 a$

Ska jag då sedan ersätta y'' och y' och y i funktionen

y''+4y'+5y=25 med den erhållna derivatan?

anirbas skrev :
smaragdalena skrev :
Skriv ett andragradspolynom (med bokstäver som koefficienter), derivera det 2 ggr och sätt in funktionen och derivatorna i diffekvationen. Klura ut vilka värden bokstäverna skall ha för att det skall stämma.
Funderade på det lite och fick det till följande:
$y = a x^{2} + b x + c$
$y^{'} = 2 a x + b$
$y'' = 2 a$

Ska jag då sedan ersätta y'' och y' och y i funktionen
y''+4y'+5y=25 med den erhållna derivatan?

Ja precis.

Yngve skrev :
anirbas skrev :
smaragdalena skrev :
Skriv ett andragradspolynom (med bokstäver som koefficienter), derivera det 2 ggr och sätt in funktionen och derivatorna i diffekvationen. Klura ut vilka värden bokstäverna skall ha för att det skall stämma.
Funderade på det lite och fick det till följande:
$y = a x^{2} + b x + c$
$y^{'} = 2 a x + b$
$y'' = 2 a$

Ska jag då sedan ersätta y'' och y' och y i funktionen
y''+4y'+5y=25 med den erhållna derivatan?
Ja precis.

Gjorde det och fick ut:

2a + 4(2ax + b) + 5(ax^2+bx+c) = 25

Efter att jag tog bort parenteserna fick jag:

2a + 8ax + 4b + 5ax^2 + 5bx + 5c = 25

Men hur går jag härifrån. Jag tänkte första att jag kunde dividera med en gemensam nämnare, men kom fram till att det inte går. Alltså, vad blir nästa steg?

Tacksam för svar! :)

Du skall ha lika många $x^{2}$ , x och vanliga siffror på båda sidor. Du kommer att få ett ekvationssystem med tre ekvationer och tre obekanta. Lös det. När det gäller kvadrattermen, exempelvis, får man fram att man har $5 a x^{2}$ på vänstersidan och 0 på högersidan, så a = 0.

anirbas skrev :
Yngve skrev :
anirbas skrev :
smaragdalena skrev :
Skriv ett andragradspolynom (med bokstäver som koefficienter), derivera det 2 ggr och sätt in funktionen och derivatorna i diffekvationen. Klura ut vilka värden bokstäverna skall ha för att det skall stämma.
Funderade på det lite och fick det till följande:
$y = a x^{2} + b x + c$
$y^{'} = 2 a x + b$
$y'' = 2 a$

Ska jag då sedan ersätta y'' och y' och y i funktionen
y''+4y'+5y=25 med den erhållna derivatan?
Ja precis.
Gjorde det och fick ut:
2a + 4(2ax + b) + 5(ax^2+bx+c) = 25
Efter att jag tog bort parenteserna fick jag:
2a + 8ax + 4b + 5ax^2 + 5bx + 5c = 25

Men hur går jag härifrån. Jag tänkte första att jag kunde dividera med en gemensam nämnare, men kom fram till att det inte går. Alltså, vad blir nästa steg?

Tacksam för svar! :)

2a + 8ax + 4b + 5ax^2 + 5bx + 5c = 25

Sortera vänsterledet som ett polynom:

5ax^2 + (8a + 5b)x + (2a + 4b + 5c) = 25

Du har alltså ett andragradspolynom som ska vara lika med 25, och det ska gälla för alla x.

Hur ska du få till det?

Yngve skrev :
anirbas skrev :
Yngve skrev :
anirbas skrev :
smaragdalena skrev :
Skriv ett andragradspolynom (med bokstäver som koefficienter), derivera det 2 ggr och sätt in funktionen och derivatorna i diffekvationen. Klura ut vilka värden bokstäverna skall ha för att det skall stämma.
Funderade på det lite och fick det till följande:
$y = a x^{2} + b x + c$
$y^{'} = 2 a x + b$
$y'' = 2 a$

Ska jag då sedan ersätta y'' och y' och y i funktionen
y''+4y'+5y=25 med den erhållna derivatan?
Ja precis.
Gjorde det och fick ut:
2a + 4(2ax + b) + 5(ax^2+bx+c) = 25
Efter att jag tog bort parenteserna fick jag:
2a + 8ax + 4b + 5ax^2 + 5bx + 5c = 25

Men hur går jag härifrån. Jag tänkte första att jag kunde dividera med en gemensam nämnare, men kom fram till att det inte går. Alltså, vad blir nästa steg?

Tacksam för svar! :)
2a + 8ax + 4b + 5ax^2 + 5bx + 5c = 25
Sortera vänsterledet som ett polynom:
5ax^2 + (8a + 5b)x + (2a + 4b + 5c) = 25
Du har alltså ett andragradspolynom som ska vara lika med 25, och det ska gälla för alla x.
Hur ska du få till det?

Aha! Jag tänker mig att man kan bryta ur så man får bara:

5ax^2 + x = 25

Sedan förkorta med 5.

ax^2 + x = 5 vilket är detsamma som x(ax+1) = 5

Därefter ansätta nollproduktsmetoden som ger att x1=0 och x2=5

Är jag helt ute och cyklar (vilket är mycket sannolikt)?

Ja, det är inte en ekvation där du ska bestämma ett x-värde. Det ska vara exakt samma uttryck i båda leden av

5ax^2 + (8a + 5b)x + (2a + 4b + 5c) = 25

Eftersom det inte finns någon x^2 term till höger får det inte heller finnas någon till vänster.

Ja du cyklar.

Ett andragradspolynom kan aldrig vara identiskt med en konstant för alla x.

Vad måste gälla för x^2-koefficienten och x-koefficienten för att VL ska kunna vara identiskt med HL för alla x?

Yngve sorterade termerna åt dig. Du vet alltså att

5a = 0 eftersom kvadrattermen i HL = 0.

8a + 5b = 0 eftersom x-termen i HL = 0.

2a + 4b + 5c = 25 eftersom konstnttermen i HL = 25.

Börja med att bestämma värdet på a, fortsätt sedan med b och c. Det är lättare än jag tror att du tror.

smaragdalena skrev :
Yngve sorterade termerna åt dig. Du vet alltså att
5a = 0 eftersom kvadrattermen i HL = 0.
8a + 5b = 0 eftersom x-termen i HL = 0.
2a + 4b + 5c = 25 eftersom konstnttermen i HL = 25.
Börja med att bestämma värdet på a, fortsätt sedan med b och c. Det är lättare än jag tror att du tror.

Okej! Jag tänker mig att a=0 eftersom a = 0/5 = 0

Enligt det resonemanget borde även b vara 0.

I så fall är c = 25/5 = 5

Kan detta stämma?

Hej!

Lösningen till din differentialekvation ser ut såhär.

y(t) = h(t) + p(t),

där funktionen h är en godtycklig lösning till den homogena differentialekvationen

h''(t) + 4h'(t) + 5h(t) = 0

och funktionen p är en lösning till differentialekvationen

p''(t) + 4p'(t) + 5p(t) = 25.

Vad gäller funktionen p så ser du direkt att den konstanta funktionen p(t) = 5 löser differentialekvationen för p; de två derivatorna p' och p'' är båda lika med noll-funktionen.

Vad gäller funktionen h så är den lika med

h(t) = Ae^(r1t) + Be^(r2t)

där A och B är två godtyckliga reella tal, och r1 och r2 är två olika lösningar till den homogena differentialekvationens karakteristiska ekvation

x^2 + 4x + 5 = 0.

Du ser att det finns lika många homogena lösningar (h) som det finns reella tal (A och B).

Albiki

Albiki skrev :
Hej!
Lösningen till din differentialekvation ser ut såhär.
y(t) = h(t) + p(t),
där funktionen h är en godtycklig lösning till den homogena differentialekvationen
h''(t) + 4h'(t) + 5h(t) = 0
och funktionen p är en lösning till differentialekvationen
p''(t) + 4p'(t) + 5p(t) = 25.
Vad gäller funktionen p så ser du direkt att den konstanta funktionen p(t) = 5 löser differentialekvationen för p; de två derivatorna p' och p'' är båda lika med noll-funktionen.
Vad gäller funktionen h så är den lika med
h(t) = Ae^(r1t) + Be^(r2t)
där A och B är två godtyckliga reella tal, och r1 och r2 är två olika lösningar till den homogena differentialekvationens karakteristiska ekvation
x^2 + 4x + 5 = 0.
Du ser att det finns lika många homogena lösningar (h) som det finns reella tal (A och B).
Albiki

Jag fick denna godtycklig lösningen till den homogena differentialekvationen:

y = Ce(−2+i)x+De(−2−i)x

Stämmer det överhuvudtaget?

Sen vad gäller partikulärlösningen, hur hitta man en lösning till

p''(t) + 4p'(t) + 5p(t) = 25 för att kunna lösa den?

Tacksam för svar! :)

Hej!

Du kan själv kontrollera om din homogena lösning stämmer genom att beräkna dess derivator y' och y'' och stoppa in dem i den homogena differentialekvationen; om din lösning stämmer så ska funktionen y''(x) + 4y'(x) + 5y(x) vara samma sak som noll-funktionen.

Albiki

.