Bestämma delrum och baser med basbytesmatris

I uppgifter med olika baser, underrum och transformationer är det lätt att göra slarvfel. Ett enkelt trick som hjälper dig räkna rätt och undvika förvirring är övertydlig notation. Basbytesmatrisen $P$ i uppgiften kan göras tydligare genom att vi lägger till texten $B\to C$

$P_{B\to C}=\begin{bmatrix}2 & -1\\ -3 & 2\end{bmatrix}$

En ekvation som berättar hur vi på ett enkelt sätt får koordinaterna för vektorn $x$ i basen $C$ om vi redan har dem i basen $B$ är

$[x]_{C}=P_{B\to C}[x]_{B}$

Här betyder notationen $[x]_{B}$ koordinaterna för vektorn $x$ i basen $B$.

Notera att kolonnerna i basbytesmatrisen är den gamla basen $B$ uttryckt i den nya basen $C$.

I din egen lösning till c) ansätter du en ordnad bas $B=\{\mathbf{b}_1,\mathbf{b}_2\}$ för $V$. Sedan vill du veta vad basen $C$ måste vara. Det du behöver använda då är inversen

$P_{C\to B}=\begin{bmatrix}2 & 1\\ 3 & 2\end{bmatrix},\quad [x]_{B}=P_{C\to B}[x]_{C}$

Nu är kolonnerna i basbytesmatrisen den gamla basen $C$ uttryckt i den nya basen $B$. Det ger oss basvektorerna

$\mathbf{c}_1=2\mathbf{b}_1+3\mathbf{b}_2=\begin{bmatrix}2\\3\\0\end{bmatrix}$

$\mathbf{c}_2=\mathbf{b}_1+2\mathbf{b}_2=\begin{bmatrix}1\\2\\0\end{bmatrix}$

D4NIEL skrev:

I uppgifter med olika baser, underrum och transformationer är det lätt att göra slarvfel. Ett enkelt trick som hjälper dig räkna rätt och undvika förvirring är övertydlig notation. Basbytesmatrisen $P$ i uppgiften kan göras tydligare genom att vi lägger till texten $B\to C$

$P_{B\to C}=\begin{bmatrix}2 & -1\\ -3 & 2\end{bmatrix}$

En ekvation som berättar hur vi på ett enkelt sätt får koordinaterna för vektorn $x$ i basen $C$ om vi redan har dem i basen $B$ är

$[x]_{C}=P_{B\to C}[x]_{B}$

Här betyder notationen $[x]_{B}$ koordinaterna för vektorn $x$ i basen $B$.

Notera att kolonnerna i basbytesmatrisen är den gamla basen $B$ uttryckt i den nya basen $C$.

I din egen lösning till c) ansätter du en ordnad bas $B=\{\mathbf{b}_1,\mathbf{b}_2\}$ för $V$. Sedan vill du veta vad basen $C$ måste vara. Det du behöver använda då är inversen

$P_{C\to B}=\begin{bmatrix}2 & 1\\ 3 & 2\end{bmatrix},\quad [x]_{B}=P_{C\to B}[x]_{C}$

Nu är kolonnerna i basbytesmatrisen den gamla basen $C$ uttryckt i den nya basen $B$. Det ger oss basvektorerna

$\mathbf{c}_1=2\mathbf{b}_1+3\mathbf{b}_2=\begin{bmatrix}2\\3\\0\end{bmatrix}$

$\mathbf{c}_2=\mathbf{b}_1+2\mathbf{b}_2=\begin{bmatrix}1\\2\\0\end{bmatrix}$

Jag har för mig att jag missat att frågan förväntar sig att man skriver C som identitetsmatrisen och använder den nya basbytesmatrisen från fråga b för att hitta det uttryckt i basen B.

tack för svaret.

Nja, om du vill få ett svar som stämmer med facit får du ansätta samma bas för C som facit gjort.

Det finns dock inget i frågan som säger att just den basen skulle vara mer rätt än någon annan bas. Det finns oändligt många möjliga baser, men det är lättast att ansätta B eller C som en identitetsmatris, dvs med kolonner som "standardbasen".