Bestämma definitionsmängd till en funktion och om den är begränsad

Är $1-\frac{1}{1-(-2)}$ positivt eller negativt?

Om definitionsmängden inte är kontinuerlig, kan inte funktionen vara kontinuerlig.

Smaragdalena skrev:

Är $1-\frac{1}{1-(-2)}$ positivt eller negativt?

Om definitionsmängden inte är kontinuerlig, kan inte funktionen vara kontinuerlig.

Ursäkta, råkade skriva kontinuerlig när det var begränsad som jag menade. Hur vet jag om funktionen är begränsad?

Jag kan se att tal mindre är minus ett gör uttrycket positivt, men jag förstår inte hur jag ska räkna mig fram till det. Svar genom prövning är inte accepterade på tentan (och inte lika säkra heller). Hur ska jag göra för att räkna mig fram till svaret? Och vad gör jag fel i min uträkning? Eftersom jag får ett svar som inte stämmer...

Använd dig av absolutbelopp för att motivera att 1-x = 1+|x| när x är negativt.

Om du (av någon anledning) absolut inte vill rita, kan du använda dig av gränsvärdesberäkningar för att undersöka om funktionen är begränsad.

MaDy skrev:

Frågan lyder

Det jag kommer fram till när jag ska bestämma definitionsmängden är t ≥ 0, men enligt facit är d.m. även alla tal mindre än minus ett. Vad gör jag för fel? Jag tänker att det under rottecknet inte får vara negativt och att nämnaren i bråket inte får vara noll.

Och hur ska jag kunna veta om ekvationen är begränsad eller inte? Måste jag rita upp hela funktionen eller finns det något enklare sätt?

 Rent konkret är det misstag du gör att du går från:

$1\ge \frac{1}{t+1}$

till

$t+1\ge 1$.

Det är inte en korrekt slutledning.

MaDy, det står i Pluggakutens regler att det inte är tillåtet att ändra i ett inlägg efter att det har blivit besvarat (däremot är det tillåtet att stryka över det som har blivit fel och skriva till det rätta). /moderator

Smaragdalena skrev:

MaDy, det står i Pluggakutens regler att det inte är tillåtet att ändra i ett inlägg efter att det har blivit besvarat (däremot är det tillåtet att stryka över det som har blivit fel och skriva till det rätta). /moderator

Okej, ursäkta. Det ska jag inte göra igen. Tack för att du påminde :) 

Smutsmunnen skrev:

MaDy skrev:

Frågan lyder

Det jag kommer fram till när jag ska bestämma definitionsmängden är t ≥ 0, men enligt facit är d.m. även alla tal mindre än minus ett. Vad gör jag för fel? Jag tänker att det under rottecknet inte får vara negativt och att nämnaren i bråket inte får vara noll.

Och hur ska jag kunna veta om ekvationen är begränsad eller inte? Måste jag rita upp hela funktionen eller finns det något enklare sätt?

 Rent konkret är det misstag du gör att du går från:

$1\ge \frac{1}{t+1}$

till

$t+1\ge 1$.

Det är inte en korrekt slutledning.

 Det var det som jag misstänkte, men jag förstår inte riktigt vad som blir fel. Jag tänker att en multiplicerar med (t + 1) på båda sidor men blir det fel då? Är inte det en tillåten operation av någon anledning?

Man kan säga att det är en otillåten operation även om jag egentligen inte gillar det uttryckssättet. Det väsentliga är att de inte är ekvivalenta. 

Med ekvationer har du alltså:

$a=b\Rightarrow ac=bc$ för alla c, dvs du "får" multiplicera med c.

För olikheter har du mer begränsat:

$a>b \Rightarrow ac>bc$ endast för positiva c. 

Så frågor till dig:

1) Vad händer om c är negativt i ovanstående olikhet?

2) När du multiplicerar med $(t+1)$ multiplicerar du med ett negativt eller med ett positivt tal, eller varierar det beroende på t?

3) Hur hanterar man det du kommit fram till i 2)?

Smutsmunnen skrev:

Man kan säga att det är en otillåten operation även om jag egentligen inte gillar det uttryckssättet. Det väsentliga är att de inte är ekvivalenta. 

Med ekvationer har du alltså:

$a=b\Rightarrow ac=bc$ för alla c, dvs du "får" multiplicera med c.

För olikheter har du mer begränsat:

$a>b \Rightarrow ac>bc$ endast för positiva c. 

Så frågor till dig:

1) Vad händer om c är negativt i ovanstående olikhet?

2) När du multiplicerar med $(t+1)$ multiplicerar du med ett negativt eller med ett positivt tal, eller varierar det beroende på t?

3) Hur hanterar man det du kommit fram till i 2)?

Ja nu förstår jag! Om en multiplicerar (eller dividerar) med ett negativt tal så måste en ju vända på olikhetstecknet. Om (t+1) är negativt så blir svaret att t ≤ -1, och eftersom t ≠ -1 blir d.m. t ≥ 0 och t < -1.

Då är det bara huruvida funktionen är begränsad eller inte som jag undrar över. t kan ju anta hur stora eller små värden som helst, men inte tal mellan 0 och -1, så betyder det att den är obegränsad?

Det du skall ta reda på är om g(t) kan anta hur stora eller hur små värden som helst, eller om g(t) är begränsad.

Smaragdalena skrev:

Det du skall ta reda på är om g(t) kan anta hur stora eller hur små värden som helst, eller om g(t) är begränsad.

Ok, så om frågan är om funktionen är begränsad så är det y-värdena jag ska kolla på? Ett rotuttryck kan ju aldrig bli negativt så betyder det att funktionen är begränsad till g(t) ≥ 0? När är det som jag ska kolla på x-värdena?

Du skall titta på x-v'rdena när du avgör definitionsmängden, d v s bl a om det finns några "förbjudna" x-värden, om funktionen är kontinuerlig eller inte.

Du skall titta på y-värdena när det handlar om värdemängden, t ex om värdemängden är begränsad.

Ett väldigt bra knep här (som i så många andra fal) är att rita. Finns det några asymptoter?

Kan vara värt att tillägga att det visserligen är väldigt bra att rita för att få en intution av grafen, men du måste mtoivera ditt ritande med gränsvärdesberäkningar, derivatans nollställen, funktionens nollställen osv

parveln skrev:

Kan vara värt att tillägga att det visserligen är väldigt bra att rita för att få en intution av grafen, men du måste mtoivera ditt ritande med gränsvärdesberäkningar, derivatans nollställen, funktionens nollställen osv

 Självklart.

Smaragdalena skrev:

Du skall titta på x-v'rdena när du avgör definitionsmängden, d v s bl a om det finns några "förbjudna" x-värden, om funktionen är kontinuerlig eller inte.

Du skall titta på y-värdena när det handlar om värdemängden, t ex om värdemängden är begränsad.

Ett väldigt bra knep här (som i så många andra fal) är att rita. Finns det några asymptoter?

Asymptoter finns där t = -1 (vertikal) och där g(t) = 1 (horisontell). Alltså kan g(t) aldrig bli 1. Annars kan g(t) anta hur stora värden som helst men är nedåt begränsad då funktionen aldrig kan bli negativ (eftersom något som en drar roten ur ej kan bli negativt). Min slutsats är då att funktionen är (nedåt) begränsad. Stämmer det?