Bestämma C och a i potensfunktion

Sätt in värdena i funktionen:

$y=C{x}^a$

$$\begin{gathered} (1, 20) \\ 20 = C·1^a \\ 20=C \\ y=20·x^a \end{gathered}$$

Prova med nästa punkt för att få ut a. 

Hej!

Tack så mycket.

Ja, det blev ju en exponentialekvation som jag kunde lösa ut med hjälp av 10-logaritmen lg.

20=C$·$$1^a$   Punkten jag kan sätta in i funktionen är (1, 20)

20=C   Jag ser att C=20 eftersom 1 upphöjt med vad som helst fortfarande är 1

y=20$·$$x^a$  Då ser funktionen ut så här

20=20$·$$1^a$ Nu har jag satt in värdet för C, och även x och y för punkten (1, 20)

40=20$·$$8^a$ Nu har jag satt in x och y värdet för den andra punkten (8, 40) Nu är det exponenten jag ska lösa ut. Jag har fått en exponentialekvation att lösa!

Så här löser jag ut a:

$8^a$=$\frac{40}{20}$

$8^a$=2

a$·$lg8=lg2

a=$\frac{lg2}{lg8}$=$\frac{1}{3}$

Det här fungerade ju bra. Tack så mycket för hjälpen :-) Men hur hade jag gått tillväga om jag inte hade haft 1 som x-värde? Då hade det blivit mycket svårare. Man får kanske se till att välja punkten där x=1...

Skriv gärna lite mer till mig om detta, "Smutstvätt". Har jag förstått dig rätt?

Hej igen! Det som du skrivit ser bra ut. Om du inte haft x = 1 som värde, blir det som sagt svårare, men inte olösbart, givet att du endast har en variabel. Säg att du har punkten (3, 20) istället för  (1, 20). Då ger insättning $20=C·3^a$, och den andra ekvationen blir följaktligen $40=C·8^a$. Det ger ett ekvationssystem med två obekanta variabler, och två ekvationer. Sådana system brukar gå att lösa, men visst blir det krångligare. Ett sätt är att använda substitutionsmetoden, men det är jobbigt. ;) Ett annat sätt är:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}20=C·3^a\\ 40=C·8^a\end{array}\right. \\ \frac{40}{20}=\frac{C·8^a}{C·3^a} \\ 2={\left(\frac{8}{3}\right)}^a \\ \log \left(2\right)=a·\log \left(\frac{8}{3}\right) \\ a=\frac{\log \left(2\right)}{\log \left({\displaystyle \frac{8}{3}}\right)}\approx 0,707 \end{gathered}$$

Tack så mycket! Nu förstår jag bättre.