Bestämma argument

Hej,

jag har fastnat på denna upg: "Låt w vara ett givet reellt tal. Bestäm ett argument av $1 + 2 i w$ "

Jag tänker att:

$z = a + b i z = 1 + 2 w i \to \{\begin{cases} a = 1 \\ b = 2 w \end{cases} z = |z| e^{i θ} |z| = \sqrt{a^{2} + b^{2}} \to \sqrt{1 + {(2 w)}^{2}} = \sqrt{1 + 4 w^{2}} z = \sqrt{1 + 4 w^{2}} e^{i θ} \cos θ = \frac{a}{|z|} = \frac{1}{\sqrt{1 + 4 w^{2}}} \sin θ = \frac{b}{|z|} = \frac{2 w}{\sqrt{1 + 4 w^{2}}}$

Har alltså mest skrivit upp samband jag vet om, men tycker inte jag kommer någonvart. Hur ska jag göra?

Du har sin och cos, så det går att sätta ihop dem till tan och ta arctan på båda sidor. Om det är ett sånt svar de är ute efter.

Går ju iofs lika bra med arcsin, men blir inte lika fint.

Det gick bra med a) uppgiften, men fick fel på b. Där ska jag istället bestämma argumentet för -1+2wi

Gjorde så:

Svaret är pi - arctan(2w)

Varför är pi med?

Det borde vara rätt fram till sista steget. Arctan spottar alltid ut en vinkel på högersidan av enhetscirkeln, men om du ritar ditt tal ser du att - 1 ligger på vänstersidan, oavsett vilken höjd. Är det ett pi som saknas?

Du kan änvända svaret på a) för att lista ut svaret på b).

-1 + 2iw = -1(1 + 2i(-w)) = e^{i $π$}(1 + 2i(-w)), så

$\arg (- 1 + i 2 w) = π + \arg (1 + 2 i (- w)) = π + \arctan (- 2 w) = π - \arctan (2 w) .$

Micimacko skrev:
Det borde vara rätt fram till sista steget. Arctan spottar alltid ut en vinkel på högersidan av enhetscirkeln, men om du ritar ditt tal ser du att - 1 ligger på vänstersidan, oavsett vilken höjd. Är det ett pi som saknas?

Så jag subtraherar med pi för att tangens är pi-periodisk?

Ja, så kan man nog säga.

Svara

Visa senaste svar