Bestämma aren (Matematik/Matte 3/Algebraiska uttryck)

Hej.

Börja med att rita en bild av ett pappersark.

Kalla skrivytans (dvs ytan innanför marginalerna) bredd x och dess längd y.

Du har fått givet att x•y = 216 cm².

Sätt nu upp ett uttryck A för hela papperets area.

Det är detta uttryck du ska minimera.

Jag förstår inte hur

Snyggt.

Skriv dit x och y i din skiss.

x är basen y är höjden? Men vet inte hur jag ska uttrycka de

Du ska inte uttrycka dem utan istället markera dem i bilden. Så här:

Du ser då att x•y = 216 cm²

Nästa steg är att använda x och y för att beskriva hela papperets area.

Det är detta uttryck för hela arean som du sedan ska minimera.

Det är det jag inte förstår vad är x och vad är y? Hur ska jag beskriva dom

Om du med ord vill skriva vad x och y är så kan du skriva att "x är bredden på skrivytan" och att "y är höjden på skrivytan", se bild i svar #7.

Om du egentligen undrar hur du ska använda x och y så är svaret att du ska använda dem för att beskriva hela papperets area.

Se bild, du kan kalla hela papperets bredd a och hela papperets höjd b. Då är hela papperets area a•b.

Nu kan du uttrycka a med hjälp av x och b med hjälp av y.

Det ger dig ett uttryck för papperets area A där x och y är de obekanta storheterna.

Med hjälp av sambandet x•y = 216 så kan du nu ersätta y med x i uttrycket för A.

Du får då att arean A = A(x), dvs att arean endast beror på x.

Nösta steg blir att hitta det x som ger det minsta möjliga värdet på A.

Hur kom du på att y är 6

Nej jag skriver slarvigt, det ska stå b där.

Jag kallar hela papperets bredd a och hela papperets höjd b.

Aha aa vad ska jag göra nu det känns svårt att hitta sambandet:(

Ur figuren kan du se att a = 3+x+3, dvs a = x+6, eftersom bredden a består dels av en vänsternarginal som är 3 cm, en skrivyta som är x cm och en högermarginal som.är 3 cm.

Försök nu att uttrycka b med hjälp av y på liknande sätt.

Nästa steg blir att skriva hela papperets area A = a•b med hjälp av dessa uttryck för a och b.

Sedan kan du använda sambandet x•y = 216 för att uttrycka t med hjälp av x.

Använd detta i uttrycket för.A.

Förlåt tycker detta är väldigt svårt, hur är a=x+6 vart kom båda 3:orna ifrån?

Vi räknar papperets bredd från vänster till höger. Titta på den bild jag lade upp i svar #9

Först är det en vänstermarginal som är 3 cm bred.
Sedan är det den skrivbara ytan som är x cm bred:
Sedan är det en högermarginal som är 3 cm bred:

Tillsammans blir det 3+x+3.

Är du med då?

Ja vad ska jag höra sen då är väl höjden y+4?

Ja, bredden är.x+6 och höjden är y+4.

Eftersom papperets area är bredd gånger höjd så är papperets area A = (x+6)(y+4).

Det är detta uttryck du ska mi imera.

Läs nu svar #9 eller #13 igen.

Där står det hur du kan gå vidare.

Ska försöka gå vidare nu tack så jättemycket!

Kunde ej fortsätta, glömt helt hur jag ska minimera en area.

Du läser Ma3, så - derivera och sätt derivatan lika med 0.

batoulee7 skrev:
Kunde ej fortsätta, glömt helt hur jag ska minimera en area.

Visa hur långt du har kommit så hjälper vi dig vidare.

Jag tog (x+4)(x+6)=x^2+10x+24=216 och kunde knte komma vidare

När du ska räkna ut en minsta area måste du hitta minimipunkten för en funktion. Detta gör du genom att derivera funktionen och sätta funktionens värde till 0. Lös ekvationen och vid x-värden(a) som du får ut kommer du ha extrempunkter (max/min/terass).

Har jag gjort rätt hittils då

Nej, det är inte rätt.

Läs svar #17 igen.

Dör står det att A = (x+6)(y+4), dvs arean beror både av x och y.

Men eftersom x•y = 216 (enligt svar #2) så är y = 216/x, vilket betyder att A(x) = (x+6)(216/x+4)

Multiplicera nu ihop parenteserna så får du ett uttryck för A som du ska minimera.

jag förstår inte hur uttrycket kom till om y=216/x vilket är y=216/(x+4) vart kom (x+6) ifrån

Är det något/några av dessa påståenden som du vill att vi förklarar närmare?

Skrivytans bredd kallar vi $x$
Skrivytans höjd kallar vi $y$
Skrivytans area är därför $x\cdot y$ (arean av en rektangel)
Skrivytans area är given I uppgiften, den är $216$ cm²
Det ger oss sambandet $x\cdot y = 216$
Om vi dividerar båda sidor med $x$ får vi $y=\frac{216}{x}$
Eftersom papperets sidomarginaler är $3$ cm så är hela papperets bredd $x+6$ cm
Eftersom papperets marginaler upptill och nertill är $2$ cm så är hela papperets höjd $y+4$ cm
Hela papperets area $A$ är lika med bredd gånger höjd, dvs $A = (x+6)(y+4)$
Eftersom $y=\frac{216}{x}$ så kan vi byta ut $y$ mot $\frac{216}{x}$ i uttrycket för $A$ och vi får då $A = A(x) = (x+6)(\frac{216}{x}+4)$

ser detta bra ut

Visa spoiler

Skriv ditt dolda innehåll här

Kan ej fortsätta

Som vanligt är det bra att rita en bild:

batoulee7 skrev:
ser detta bra ut

Du har att $A(x)=(x+6)(\frac{216}{x}+4)=$

$=216+4x+\frac{6\cdot216}{x}+24=240+4x+\frac{1296}{x}$

Efter derivering får du $A'(x)=4-\frac{1296}{x^2}$

$A'(x)=0$ ger nu $x^2=\frac{1296}{4}$ , dvs $x^2=324$

Kommer du vidare då?

Aa roten ur 324 blir 18, vart ska jag sätta in den?

Bra. Du har alltså kommit fram till att om x = 18 så har areafunktionen A(x) en stationär punkt (dvs en minimi- maximi- eller terrasspunkt).

Nu måste du visa att detta är en minimipunkt.

Efter det kan du beräkna y+4, vilket är svaret på frågan.

Hängde du med?

Nej, menar du att jag ska räkna ut 5’y?

batoulee7 skrev:
Nej, menar du att jag ska räkna ut 5’y?

Vet inte vad du menar med 5'y.

Jag menar att du

ska visa att A(18) är en minimipunkt, dvs att alla andra (tillåtna) värden på x ger ett större värde på arean.
återigen ska använda sambandet x•y = 216 för att bestämma det y-värde som motsvarar x = 18.
se vilket av pappersmåtten x+6 och y+4 som är störst
svara med detta största mått

Jag fick -4,03 vilket är fel

Visa hur du räknade så hjälper vi dig att hitta felet.

Jag la in x=-18 då det är minimipunkten i formeln för arean(x+6)(216x+4)

Nej det ska vara x = 18, inte x = -18.

då kommer jag få ett jättestort svar

svaret skall bli 24 cm jag är helt borta.

Det de frågar efter är pappersarkets längsta sida.

Den ena sidans längd är x+6 och den andra sidans längd är y+4.

För att kunna svara på frågan behöver du alltså räkna ut både x+6 och y+4.

Du vet att x = 18 och kan nu beräkna y med hjälp av sambandet x•y = 216

Jag får 12

batoulee7 skrev:
Jag får 12

Det är nästan rätt.

Visa gärna hur du resonerar/räknar så blir det enklare för oss att vägleda dig rätt.

A=(18+4)(y+6)

för att veta y, y=216/18 då det är x

y= 12

(18+4)(12+6)

Fick 432 nu ist😭

Det stämmer att x = 18 och att y = 12.

Om.du tittar på bilden i svar #9 så ser du att det betyder att

papperets bredd är x+6, dvs 18+6, dvs 24 cm
papperets höjd är y+4, dvs 12+4, dvs 16 cm

Det som efterfrågas är nu längden av papperets längsta sida.

Vilken är det och hur lång är den?

Hur ska ja få det?

Läs mitt senaste svar igen. Där står längden av de båda sidorna.

24 visst?

Ja, det stämmer.

Tack så jättemycket, efter 2 veckor är detta löst!

Bra tålamod och bra kämpat!

Läs gärna igenom hela tråden igen.

Förstår du nu vad uppgiften gällde, vad de frågade efter?

Och förstår du alla steg fram till lösningen?