Bestämma arean av ett paralellogram i ett ortogonalt koordinatsystem

Borde inte arean av parallellogrammet vara $\sqrt{{\left|u\times v\right|}^2}$? Om vi kryssar vektorerna får vi en vektor vars längd är lika med arean av parallellogrammet som vektorerna spänner upp. 

Alltså bara $u\times v$? Sätter z=0 och får då endast kvar -58 i sista termen när jag beräknar determinanten. Testade skriva in absolutbeloppet av det, dvs 58 och det blev tyvärr fel :/

Ursäkta det sena svaret, denna tråd försvann i min inkorg. 

Jag såg inte att vektorerna var tvådimensionella, klantigt av mig. Jag föreslår istället att vi hittar vektorerna som spänner upp området: 

Och sedan beräknar vi determinanten av de två. Då får vi arean 58 areaenheter. 

Vi kan göra detsamma för triangeln, men dividera determinantens storlek med två. 

sinusregeln säger följande för arean av en triangel med sidorna A och B.

A=0.5*A*B*sinC

Vill du ha arean för motsvarande parallellogram A=2(0.5*A*B*sinC)=A*B*sinC eftersom parallellogramet består av 2 trianglar.

Vill du istället använda vektorprodukten så är det per definition så att:

|r1xr2|=|r1||r2|sinR

det betyder då att utan att behöva någon slags teori så vet du att |r1xr2| ger dig arean för parallellogramet.  Nu är det ju så att vektorprodukten inte är definierad i R2, men du kan nolla z koordinaten och få rätt svar ändå.

Vet du hur man beräknar r1xr2 med givna koordinater?

Du kan även använda den formel som du först skrev upp, om du med x menar skalärprodukten som vanligen betecknas med en punkt •. 

A² = |u|²|v|²sin²C = ${\left|u\right|}^2{\left|v\right|}^2$(1-cos²C) = ${\left|u\right|}^2{\left|v\right|}^2$ - (u•v)².