Bestämma antalet lösningar till ekv. system

Hej Liiindebeerg,

Du har ett ickehomogent linjärt ekvationssystem. En bra början är att studera dess determinant.

Jag svarade just på en snarlik fråga i den här tråden.

Se om du kan använda informationen där för att lösa ditt problem.

Hej,

Jag ska se om jag blir något klokare. Men dock har jag ännu inte gått igenom determinanter så antar att uppgiften ska gå att lösa utan? 

Ja, det går att lösa utan determinanter och med konstgjord Gausselimination som du påbörjat, ungefär så här:

Den sista ekvationen (9) ger oss $z=\frac{2}{(a-1)}$ om vi tillåter oss att dela båda sidor med $(a-1)(a+2)$. Men för att det ska vara tillåtet MÅSTE $(a+2)\neq 0$. Vidare måste $(a-1)\neq 0$.

Vad händer då om $a=1$ eller $a=-2$? I det första fallet urartar ekvation 9 till $0=4$, vilket aldrig är sant, alltså saknar systemet lösningar för a=1.

I det andra fallet (a=-2), ger ekvation 9 $0=0$ oavsett z, vilket är sant för alla z. Alltså oändligt många lösningar.

Man kan också tolka dina ursprungliga ekvationer geometriskt. De beskriver 3 plan. När a=-2 kommer ekvation (2) och (3) att beskriva samma plan (multiplicera en av dem med -1 så ser du).

Struntar man i Gauss och geometriska tolkningar kan istället göra så här:

Ekvation (2)+(3) ger

$(a+2)x=0$

Vilket ger $x=0$ om $(a+2)\neq 0$. Detta x i (1)-(2) ger

$(a-1)z=2$

Vilket har lösningar om $(a-1)\neq 0$