Bestämma antal invånare på ett vist avstånd från centrum

Edit.

henrikus skrev:

Du krånglar till det.

Antalet som bor inom en radie av 4 km är f(4)

Antalet som bor inom en radie av 1 km är f(1)

Nä, f är befolkningstätheten. f(4) < f(1), det går inte bra ihop med det du skrev.

Laguna skrev:

henrikus skrev:

Du krånglar till det.

Antalet som bor inom en radie av 4 km är f(4)

Antalet som bor inom en radie av 1 km är f(1)

Nä, f är befolkningstätheten. f(4) < f(1), det går inte bra ihop med det du skrev.

Jag tänkte fel.

Vad säger facit?

Facit säger ca 126 000

Ella4561772 skrev:

Facit säger ca 126 000

Det tycker jag borde vara de som bor mellan radie 0 och 4, inte 1 och 4.

Det står 1 och 4 men det kan ju vara fel. Vet du hur man räknar ut när det är mellan 0 och 4?

$$\begin{gathered} 2\mathrm{\pi xdx} \mathrm{är} \mathrm{arean} \mathrm{av} \mathrm{området} \mathrm{mellan} \\ \mathrm{x} \mathrm{och} \mathrm{x}+\mathrm{dx} \\ \mathrm{Så} \mathrm{antalet} \mathrm{människor} \mathrm{som} \mathrm{bor} \mathrm{i} \det \mathrm{området} \mathrm{är} \\ \frac{10000}{\sqrt[\mathrm{x}]{\mathrm{x}}}2\mathrm{\pi xdx} \\ \mathrm{Och} \mathrm{så} \mathrm{kan} \mathrm{man} \mathrm{integrera} \mathrm{över} \det . \\ \mathrm{Om} \mathrm{man} \mathrm{antar} \mathrm{att} \mathrm{dx} \mathrm{är} \mathrm{så} \mathrm{litet} \mathrm{så} \mathrm{att} \mathrm{befolkningstätheten} \\ \mathrm{är} \mathrm{konstant} \mathrm{i} \mathrm{området}. \end{gathered}$$

Wolfram säger 336212 som resultat av integralen.

okej, två frågor på det: 

varför är 2πxdx = arean? 2πr är ju hur man räknar ut omkretsen av en cirkel, är det därifrån det kommer?

och vad är det dx betyder här? Min lärare har bara sagt att vi använder dx eller dy för att visa vad för variabel vi använder men här verkar det betyda någonting mer.

Egentligen är det $\mathrm{\pi }{(\mathrm{x}+\mathrm{dx})}^2-{\mathrm{\pi x}}^2=\mathrm{\pi }({\mathrm{x}}^2+2\mathrm{xdx}+{\left(\mathrm{dx}\right)}^2-{\mathrm{x}}^2)=\mathrm{\pi }(2\mathrm{xdx}+{\left(\mathrm{dx}\right)}^2)\mathrm{och} \mathrm{så} \mathrm{kan} \mathrm{man} \mathrm{försumma} {\left(\mathrm{dx}\right)}^2$

Jag börjar tro att den här uppgiften kanske är lite för svår för mig/ att jag saknar någonting som jag behöver kunna, men tack för att du svarade!

Ja den känns lite svår ...

Får man verkligen försumma dx^2?

Anonymous75 skrev:

Får man verkligen försumma dx^2?

Ja.

henrikus skrev:

$$\begin{gathered} 2\mathrm{\pi xdx} \mathrm{är} \mathrm{arean} \mathrm{av} \mathrm{området} \mathrm{mellan} \\ \mathrm{x} \mathrm{och} \mathrm{x}+\mathrm{dx} \\ \mathrm{Så} \mathrm{antalet} \mathrm{människor} \mathrm{som} \mathrm{bor} \mathrm{i} \det \mathrm{området} \mathrm{är} \\ \frac{10000}{\sqrt[\mathrm{x}]{\mathrm{x}}}2\mathrm{\pi xdx} \\ \mathrm{Och} \mathrm{så} \mathrm{kan} \mathrm{man} \mathrm{integrera} \mathrm{över} \det . \\ \mathrm{Om} \mathrm{man} \mathrm{antar} \mathrm{att} \mathrm{dx} \mathrm{är} \mathrm{så} \mathrm{litet} \mathrm{så} \mathrm{att} \mathrm{befolkningstätheten} \\ \mathrm{är} \mathrm{konstant} \mathrm{i} \mathrm{området}. \end{gathered}$$

Wolfram säger 336212 som resultat av integralen.

x:te roten ur x? Så står det inte i uppgiften.

$$\begin{gathered} x\sqrt{x} då blir det enklare. \\ {\int }_1^4\frac{10000}{x\sqrt{x}}2\mathrm{\pi xdx}=20000\mathrm{\pi }{\int }_1^4\frac{1}{\sqrt{\mathrm{x}}}\mathrm{dx}=40000\mathrm{\pi }(\sqrt{4}-\sqrt{1})= \\ 40000\mathrm{\pi }\approx 126000 \end{gathered}$$

Anonymous75 skrev:

Får man verkligen försumma dx^2?

$$\begin{gathered} {(x+dx)}^2-x^2=2xdx+{\left(dx\right)}^2=2xdx(1+\frac{dx}{2x}) \\ \frac{dx}{2x}<<1 och kan försummas (<<betyder mycket mindre än) \end{gathered}$$