Bestämma a

Jag skulle börja med att konstatera att f(0) = 0, så därför måste det minsta värdet vara vid en minimipunkt.

Sedan skulle jag göra som vanligt för att hitta funktionens minimipunkt och sedan välja a så att funktionsvärdet vid denna punkt är -1/2 

Du kan ju börja med att konstatera att funktionen f(x) = x³+ax² ser i stort sett ut så här: / 

Om man deriverar funktionen får man derivatan f'(x) = 3x²+2ax = x(3x+2a). Det betyder att derivatan har två nollställen, x = 0 och 3x+2a = 0, d v s x = -2a/3. Sätt in dessa båda x-värden i ekvationen f(x) = -½  och undersök om man kan välja a på så sätt att det stämmer. Tänk på att x skall vara icke-negativt.

Jag förstår inte hur jag ska göra för att hitta minimipunkten

så långt kmr jag 

Edit 

Sätt derivatan lika med 0 och lös ekvationen.

Hur kommer jag vidare?

Bra början.

Gör nu som vanligt, dvs lös ekvationen f'(x) = 0 för att hitta det/de x-värden för vilket funktionen har min-, max- eller terrasspunkter 

Jag har fastnat . Ska jag göra en teckentabell? Vad ska jag  göra med x+(2a/3)=0 , vi vet att x1=0. Men vad ska jag göra för att hitta x2?

OK så den ena extrempunkten ligger vid x = 0 och den andra ligger vid x = -2a/3.

Vilken av dessa är en minpunkt?

Hur kan man veta det? (Ta reda på det)

Jag kom på det. Andra derivatan ger oss om det är Max eller min punkt. X=0 är minpunkten 

Alltså då x=0 ger oss en minpunkt.

Du vet att koefficienten framför $x^3$-termen är positiv, vilket innebär att grafen kommer nerifrån vänster och fortsätter upp åt höger.

Det betyder att den vänstraste extrempunkten måste vara en maxpunkt och den högraste en minpunkt.

Yngve skrev:

Du vet att koefficienten framför $x^3$-termen är positiv, vilket innebär att grafen kommer neriftån vänster och fortsätter upp åt höger.

Det betyder att den vänstraste extrempunkten måste vara en maxpunkt och den högraste en minpunkt.

Kan du förklara med hjälp av en bild? Förstår inte vad du menar 

Kan du förklara med hjälp av en bild?

Läser du inte vad vi skriver?

Du kan ju börja med att konstatera att funktionen f(x) = x³+ax² ser i stort sett ut så här: / 

Katarina149 skrev:

Jag kom på det. Andra derivatan ger oss om det är Max eller min punkt. X=0 är minpunkten 

Alltså då x=0 ger oss en minpunkt.

Hur kommer jag vidare?

Det gäller bara om a > 0.

Annars är det ju tvärtom.

Vad menar du?

Det är ju givet att funktionen har ett minsta värde då $x\geq0$ och att detta minsta värde är -1/2.

Vi har konstaterat att $f(x)$ har extrempunkter vid $x=0$ och vid $x=-2a/3$.

Funktionsvärdet vid $x=0$ är $0$, vilket är större än $-1/2$, vilket betyder att $f(x)$ måste ha en maxpunkt vid $x=0$ oxh en minpunkt vid $x=-2a/3$.

Eftersom koefficienten framför $x^3$-termen är positiv så har grafen följande principiella utseende (se bild), dvs minpunkten ligger till höger om maxpunkten.

Alltså måste $-2a/3>0$, vilket innebär att $a<0$.

Katarina149 skrev:

Vad menar du?

Du förutsatte att a > 0, men så behöver det inte vara.

• Om a är större än 0 så är f''(0) = 2a större än 0 och f(0) är då en minpunkt.
• Men om a istället är mindre än 0 så är f''(0) = 2a mindre än 0 och och f(0) är då istället en maxpunkt.

Samma resonemang gäller för f''(-2a/3) och f(-2a/3).

Yngve skrev:

Det är ju givet att funktionen har ett minsta värde då $x\geq0$ och att detta minsta värde är -1/2.

Vi har konstaterat att $f(x)$ har extrempunkter vid $x=0$ och vid $x=-2a/3$.

Funktionsvärdet vid $x=0$ är $0$, vilket är större än $-1/2$, vilket betyder att $f(x)$ måste ha en maxpunkt vid $x=0$ oxh en minpunkt vid $x=-2a/3$.

Eftersom koefficienten framför $x^3$-termen är positiv så har grafen följande principiella utseende (se bild), dvs minpunkten ligger till höger om maxpunkten.

Alltså måste $-2a/3>0$, vilket innebär att $a<0$.

Jag hänger inte med på något av det du skriver (förstår inte)

Om f(0) är en minpunkt så nåste funktionen ha minst 2 min och en max men du har redan konstaterat att andraderivatan maximalt har 2 rötter så det kan inte stämma att x=0 är din minimumpunkt. Uppgiften ger dig att du har ett minimum på y= -1/2 och eftersom f(x) är av grad 3 finns endast max 2 extrempunkter, är du med på det? Det betyder att om $f(0) \neq -\frac{1}{2} \iff f(0)$ är ett maximum och då måste ju den andra roten till $f'(x)=0$ vara min-punkten på koordinaten $(-2a/3,-1/2)$. 

Katarina149 skrev:

Jag hänger inte med på något av det du skriver (förstår inte)

Bra att säger till att du inte förstår. Då försöker vi förklara på andra sätt. Dracaena beskrev det bra och jag kompletterar med lite bilder.

====== Faktaruta =========

Det finns endast fyra principiella utseenden på grafen till en tredjegradsfunktion $f(x)$, nämligen följande:

Typ 1:

• Grafen är generellt ökande, dvs den börjar nerifrån vänster och fortsätter upp åt höger. Detta är fallet då koefficienten framför $x^3$-termen är positiv.
• Grafen har två extrempunkter. Detta är fallet när andragradsekvationen $f'(x)=0$ har två separata rötter.
• Exempel $f(x)=x^3-2x^2+2$. $f'(x)=0$ har de två rötterna $x_1=0$ och $x_2=\frac{4}{3}$.

Typ 2:

• Grafen är generellt ökande, dvs den börjar nerifrån vänster och fortsätter upp åt höger. Detta är fallet då koefficienten framför $x^3$-termen är positiv.
• Grafen har en terrasspunkt. Detta är fallet när andragradsekvationen $f'(x)=0$ har en dubbelrot
• Exempel $f(x)=x^3+1$. Andragradsekvationen $f'(x)=0$ har dubbelroten $x_1=x_2=0$

Typ 3:

• Grafen är generellt avtagande, dvs den börjar uppifrån vänster och fortsätter ner åt höger. Detta är fallet då koefficienten framför $x^3$-termen är negativ.
• Grafen har två extrempunkter. Detta är fallet när andragradsekvationen $f'(x)=0$ har två separata rötter.
• Exempel $f(x)=-x^3-2x^2+2$. Andragradsekvationen $f'(x)=0$ har de två rötterna $x_1=0$ och $x_2=-\frac{4}{3}$.

Utseende 4:

• Grafen är generellt avtagande, dvs den börjar uppifrån vänster och fortsätter ner åt höger. Detta är fallet då koefficienten framför $x^3$-termen är negativ.
• Grafen har en terrasspunkt. Detta är fallet när andragradsekvationen $f'(x)=0$ har en dubbelrot
• Exempel $f(x)=-x^3+1$. Andrgradsekvationen $f'(x)=0$ har dubbelroten $x_1=x_2=0$.

Sammanfattning:

• Grafen till en tredjegradsfunktion har alltid antingen endast en terrasspunkt (typ 2 & 4) eller både en min-och en maxpunkt (typ 1 & 3). Det finns inga andra möjligheter.
• Om funktionen har en positiv koefficient framför $x^3$-termen och om grafen har två extrempunkter så ligger maxpunkten till vänster om minpunkten. Det finns ingen annan möjlighet.
• Om funktionen har en negativ koefficient framför $x^3$-termen och om grafen har två extrempunkter så ligger maxpunkten till höger om minpunkten. Det finns ingen annan möjlighet.

==============

Funktionen i din uppgift är av typ 1.

Det innebär att den har både en maxpunkt och en minpunkt och att maxpunkten ligger till vänster om minpunkten.

Blev det klarare då?

Hur kan grafen till funktionen f(x)=x^3+ax^2 likna funktion typ 1?  Funktionen f(x) har inget m värde, eller jo m=0 .  Graf typ 1 har m värdet 2 

1. Är du med på att funktionen $f(x)=x^3+ax^2$ har en positiv koefficient framför $x^3$-termen? I så fall är det en typ1 eller typ 2.
2. Är du med på att andragradsekvationen $f'(x)=0$ har två olika rötter? I så fall är det en typ 1 eller typ 3.

Sammantaget är din funktion en typ 1. Oavsett var grafen är placerad, dvs oavsett var den skär x- och y-axeln.

Jag förstår fortfarande inte hur x=0 är maximipunkten... När jag använde andra derivatan så fick jag att det var en minpunkt 

Nej hur såg du att det var en minpunkt?

Jag använde mig av andraderivata 

Men hur vet du att a är ett positivt tal?

Tänk om a = -2.

Då är f''(0) = 2a = 2*(-2) = -4, vilket är mindre än 0. Och då har kurvan en maxpunkt vid x = 0.

Okej, men hur ska man annars veta om a är positiv eller negativ?

Funktionens derivata har nollställen dels vud x = 0 och dels vid x = -2a/3.

Det betyder att funktionen har en extrempunkt vid x = 0 och en extrempunkt vid x = -2a/3.

Du har fått reda på att grafens ena extrempunkt återfinns någonstans där x > 0 och det måste vara den där x = -2a/3.

Därför måste a var negativ.

Andraderivata funkar alltså inte för att avgöra vad som är maximi respektive minimipunkt. Jag vet inte om din metod är den enklaste. Kan man lösa den på ett enklare sätt? Jag är inte riktigt säker på varför maximipunkten är 0

Funktionsvärdet vid den ena extrempunkten (x = 0) är 0.

Du vet att funktionsvärdet vid den andra extrempunkten är -1/2.

Eftersom -1/2 är mindre än 0 så måste 0 vara ett maxvärde och -1/2 vara ett minvärde.

Hur kan man veta att x=-1/2 är mindre? Tänkt om det var maxvärden där istället? Eller gäller det här alltid när det finns en x3 term

Du kan lätt räkna ut att f(0) = 0. När du vet detta är de väl enkelt att se att -½ är mindre än 0?

Ska man resonera sig fram till svaret på den uppgiften?

En kombination av att räkna och att resonera.

Jag förstår inte hur 0 kan vara en maximipunkt om andraderivatan blir positiv 

Vilket värde har f"(0)?

Katarina149 skrev:

Jag förstår inte hur 0 kan vara en maximipunkt om andraderivatan blir positiv 

Andraderivatan vid x = 0 är inte positiv.

Läs mitt tidigare svar här.

Och här.

Smaragdalena skrev:

Vilket värde har f"(0)?

Jag fick det till att bli 2a

jag tycker att yngves grfiska förklaring är svår att förstå. (Jag hängde inte med på yngves förklaring)

Katarina149 skrev:

Jag fick det till att bli 2a

Ja det stämmer att $f''(0) = 2a$

Men är du med på att det inte betyder att funktionen har en minpunkt i origo eftersom vi inte vet om $a$ är positiv eller negativ?

Det gäller ju nämligen att

• Om $a > 0$ så är $f''(0) > 0$ och då har funktionen en minpunkt i origo.
• Om $a < 0$ så är $f''(0) < 0$ och då har funktionen en maxpunkt i origo.

Jag illustrerar nu detta med två exempel på tredjegradsfunktioner $f(x)=x^3+ax^2$.

Den ena funktionen har $a=2$, dvs $a > 0$. Den funktionen har en minpunkt i origo (röd graf).

Den andra funktionen har $a=-2$, dvs $a<0$. Den funktionen har en maxpunkt i origo (blå graf).

Experimentera gärna själv med Desmos, Wolframalpha, Geogebra eller något annat online ritverktyg så att du känner dig övertygad om att positiva $a$ ger minpunkt i origo och negativa $a$ ger maxpunkt i origo.

Jag har använt Desmos.com:

Katarina149 skrev:

Smaragdalena skrev:

Vilket värde har f"(0)?

Jag fick det till att bli 2a

jag tycker att yngves grfiska förklaring är svår att förstå. (Jag hängde inte med på yngves förklaring)

1. Du har två extremvärden, när x = 0 och när x = -2a/3.
2. Du vet att funktionen skall ha ett minsta värde y = -½.
3. Minimivärdet måste vara i ett av extremvärdena. Du kan lätt räkna ut att f(0 ) = 0, så det kan det inte vara, alltså måste det vara x = -2a/3 som ger minimivärdet.
4. Funktionen f(x) = x³+ax² har en "osynlig etta" framför kubiktermen, så om du stoppar in ett stort negativt tal i f(x) så blir funktionsvärdet stort och negativt, och om du stoppar in ett stort och positivt x-värde kommer funktionsvärdet att bli stort och positivt. Funktionens graf kommer alltså i stort sett att luta så här: /, men med en maximipunkt och en minimipunkt på vägen (eller en terrasspunkt, men det är det i te i det här fallet eftersom vi har hittat två punkter där derivatan är 0).
5. Om vi skall få det här att stämma, måste maximipunkten att inträffa för ett mindre x-värde än minimipunkten.
6. Det innebär att minimipunkten måste ha ett positivt x-värde
7. Det innebär att a måste ha ett negativt värde.

Vilken punkt fastnar du på?

Från och med punkt 4 fastnar jag 

Undersök t ex funktionen f(x) = x³. Om du stoppar in att x är ett stort negativt tal, t ex -1 000 000, blir då f(x) positivt eller negativt? Om du stoppar in att x är ett stort positivt tal, t ex 1 000 000, blir då f(x) positivt eller negativt? Om du stoppar in att x = 0, vad blir f(x)?

x blir jätte stort tal om man stoppar in x=1000 000 om man stoppar in x=-1000 000 då blir x ett jätte litet tal. Om man stoppar in x=0 då blir f(x)=0. 

Ja, och det betyder att grafen ser ut så här, eller hur? Det här är alltså en funktion av Typ 2 enligt min beskrivning i det här svaret.

Det Yngve skriver stämmer, och jag uttrycker det som att funktionen i stort sett lutar så här: /. Alla tredjegradsfunktioner som har positiv koefficient för x+-termen lutar på det här sättet. 

Undersök nu funktionen f(x) = -x³. Om du stoppar in att x är ett stort negativt tal, t ex -1 000 000, blir då f(x) positivt eller negativt? Om du stoppar in att x är ett stort positivt tal, t ex 1 000 000, blir då f(x) positivt eller negativt? Om du stoppar in att x = 0, vad blir f(x)?

grafen ska se ut så här ”på ett ungefär” 

Som man ser på bilen är x= 0 en maximipunkt. Då borde -2a/3 vara vår minipunkt , med en y koordinat på -1/2. 
om jag testar med att sätta in y=-1/2 

-1/2=(-2a/3)^3 + a*(-2a/3) 

löser ut a 

jag får två värden på a. 
a1=-3/2 

a2=3/4

eftersom att det står ”+ax^2” och inte ”-ax^2” då borde det a2 vara det korrekta alternativet. Alltså blir funktionen 

x^3 + 3/4 x^2 där a=3/4

Hur kan det komma sig att grafen ska se ut så här? 

Katarina149 skrev:

grafen ska se ut så här ”på ett ungefär” 

Det stämmer!

Som man ser på bilen är x= 0 en maximipunkt. Då borde -2a/3 vara vår minipunkt , med en y koordinat på -1/2. 
om jag testar med att sätta in y=-1/2 

-1/2=(-2a/3)^3 + a*(-2a/3) 

Här missar du att högerledets abdra term ska vara a*(-2a/3)^2

löser ut a 

jag får två värden på a. 
a1=-3/2 

a2=3/4

Nej du ska endast få ut ett värde på a, nämligen a = -3/2.

Visa hur du får ut det abdra värdet 

 

eftersom att det står ”+ax^2” och inte ”-ax^2” då borde det a2 vara det korrekta alternativet. Alltså blir funktionen 

x^3 + 3/4 x^2 där a=3/4

Det här resonemanget förstår jag inte.

 

Hur kan det komma sig att grafen ska se ut så här? 

Det ska den inte.

Varför ska jag ta högerledets andra term a*(-2a/3)^2?

Jaha oj det står ju ax^2

Om jag rättar till det så får jag att a=-3/2

jag kontrollerar mitt svar 

Det verkar stämma

Ja det stämmer. Bra!

Läs nu igenom tråden från start till slut.

Är det fortfarande något som du vill få förklarat på ett bättre sätt så säg bara till.

Jag undrar vad de menar med ”[0,∞)” varför har de skrivit upp det i frågan 

Det är en beteckning för ett intervall och betyder samma sak som $\geq0$.

De säger alltså att funktionens minsta värde då $x\geq0$ är -1/2.

Om de inte hade begränsat $x$-värdena på något sätt så hade fu funktionen haft mycket lägre minsta värden, t.ex. för $x=-10$

Yngve skrev:

Det är en beteckning för ett intervall och betyder samma sak som $\geq0$.

De säger alltså att funktionens minsta värde då $x\geq0$ är -1/2.

Om de inte hade begränsat $x$-värdena på något sätt så hade fu funktionen haft mycket lägre minsta värden, t.ex. för $x=-10$

Jag förstår inte för att vara helt ärligt vad du menar. Betyder det att x ska vara större elr lika med 0?

Det står i uppgiften att funktionens minsta värde då $x\geq0$ är -1/2.

Det står inte att funktionen i sig har en begränsad definitionsmängd.

Hej igen. 

Jag går igenom den här uppgiften och inser att jag bara har hängt med och förstått stegen för hur man räknar ut uppgiften fram till och med hur jag räknar ut nollställen. 

Du har alltså hittat derivatans nollställen, alltså de x-värden där funktionen har ett maximivärde eller ett minimivärde. Det är två olika värden, så det handlar inte om en terrasspunkt. Är du med på detta?

Hur ser funktionen f(x) = x³+ax² ut jätteförenklat, är det så: / eller så: \?

Derivatans nollställen ger Max/minpunkt. Ja det är jag med på. 

Det ska först vara stigande dvs /

Det stämmer. Då måste maxvärdet ligga till vänster om minimivärdet (mindre x-värde), eller hur?

Ja det är jag med på. Hur  kommer jag vidare?

Vi vet att funktionen har ett minsta värde för alla positiva x som är lika med ½. Vi kan snabbt räkna ut att f(0) = 0. Detta visar att 0 är ett maximivärde. Är du med på det här resonemanget? 

Smaragdalena skrev:

Vi vet att funktionen har ett minsta värde för alla positiva x som är lika med ½. Vi kan snabbt räkna ut att f(0) = 0. Detta visar att 0 är ett maximivärde. Är du med på det här resonemanget? 

Det du skriver nu hänger jag inte med på

1. Vi vet att funktionen har ett minsta värde för alla positiva x som är lika med ½. (det står i uppgiften)
2. Vi kan snabbt räkna ut att f(0) = 0. (för det finns ingen konstantterm)
3. Detta visar att 0 är ett maximivärde. (eftersom det finns ett mindre y-värde till höger om 0)
4. Vi ser också att koefficienten för x³-termen är positivt, så kurvan lutar förenklat så här: /

Vilka punkter är du med på?

Jag är inte med på punkt 2. Hur kan du räkna ut att f(0)=0?

Katarina149 skrev:

Jag är inte med på punkt 2. Hur kan du räkna ut att f(0)=0?

Sätt in x = 0 i f(x)=x³ +ax²

f(0)=0^3 + a*0^2?

Ja. Vilket värde har det?

f(0)=0

Är du med på punkt 2 då?

Ja nu är jag med på punkt 2

Smaragdalena skrev:

1. Vi vet att funktionen har ett minsta värde för alla positiva x som är lika med ½. (det står i uppgiften)
2. Vi kan snabbt räkna ut att f(0) = 0. (för det finns ingen konstantterm)
3. Detta visar att 0 är ett maximivärde. (eftersom det finns ett mindre y-värde till höger om 0)
4. Vi ser också att koefficienten för x³-termen är positivt, så kurvan lutar förenklat så här: /

Vilka punkter är du med på?

Du skrev att du är med på punkt 2. Hur är det med punkt 3 och 4?

Är det bara så man ska göra?

Katarina149 skrev:

Är det bara så man ska göra?

Hu har inte svarat på om du är med på punkt 3 och 4 än, så det känns inte lönt att svara på dina inlägg.

Smaragdalena skrev:

Hu har inte svarat på om du är med på punkt 3 och 4 än, så det känns inte lönt att svara på dina inlägg.

Ja jag är med på punkterna 3 & 4