Bestämm punkt Q

Får se på din lösning?

Visa steg för steg hur du har gjort - då kan vi hjälpa dig att hitta var det kan ha gått fel. Vi som svararhär är bra på matte,men usla på tankeläsning.

Tips: Börja med att rita.

En fundering... Om man läser uppgiften precis som den är formulerad, skulle det inte räcka att sätta $Q=P$?

Gissar dock att man söker $Q$ sådan att $Q\ne P$?

En tangent SKÄR inte en kurva, den tangerar den, bara.

Jag har löst uppgiften P=Q. Men tack för hjälpen 

Zaino skrev:

Jag har löst uppgiften P=Q. Men tack för hjälpen 

Det är inte rätt lösning. En tangent SKÄR inte kurvan - d v s passerar från ena sidan om kurvan till den andra, utan TANGERAR den bara, d v s nuddar vid kurvan i en punkt och fortsätter på SAMMA SIDA om kurvan som tidigare.

här är min lösning men jag vet inte om den är helt rätt

Du verkar inte ha beräknat riktningskoefficienten för tangenten för tangenten i punkten (1,2), d v s f'(1)*

Du verkar inte ha beräknat funktionen för tangenten, d v s y=f'(1)x+m, där man kan få fram m genom att sätta in koordinaterna för tangeringspunkten.**

Du verkar ha räknat ut något helt annat än det man frågar efter i uppgiften, jag vet inte riktigt vad.

*Jo, du har beräknat att f'(1)=3, men du verkar inte använda det sedan.

**Jo, du har beräknat att m = -1, men du sätter in det i fel funktion. Du skall sätta in det så att du får fram den räta linjen y=3x-1. Om du sedan löser ekvationen x³+1=3x-1 får du fram x-värdet där de båda kurvorna skär varandra.

Nej. Varför dyker det upp en 2:a i exponenten på raden 2 = 3x²+m?

Smaragdalena skrev:

Du verkar inte ha beräknat riktningskoefficienten för tangenten för tangenten i punkten (1,2), d v s f'(1)*

Du verkar inte ha beräknat funktionen för tangenten, d v s y=f'(1)x+m, där man kan få fram m genom att sätta in koordinaterna för tangeringspunkten.**

Du verkar ha räknat ut något helt annat än det man frågar efter i uppgiften, jag vet inte riktigt vad.

 

*Jo, du har beräknat att f'(1)=3, men du verkar inte använda det sedan.

**Jo, du har beräknat att m = -1, men du sätter in det i fel funktion. Du skall sätta in det så att du får fram den räta linjen y=3x-1. Om du sedan löser ekvationen x³+1=3x-1 får du fram x-värdet där de båda kurvorna skär varandra.

Men då får jag x=1, x³+1=3x-1 --> x³+2-3x=0 och x=1 sen om jag sätter in x i ursprungs ekvationen som är f(x)=x³+1 --> f(1)=1³+1=2 då är y=2.

Punkten Q blir då (1, 2)

Tänker jag rätt då?

Laguna skrev:

Nej. Varför dyker det upp en 2:a i exponenten på raden 2 = 3x²+m?

Jag Deriverar f(x)=x³+1 som blir 3x²

Zaino skrev:

Laguna skrev:

Nej. Varför dyker det upp en 2:a i exponenten på raden 2 = 3x²+m?

Jag Deriverar f(x)=x³+1 som blir 3x²

Då får du kurvans lutning för ett godtyckligt x. Men på raden innan har du helt korrekt formeln för den tangent vi söker, y = kx+m. k är lutningen just i punkten (1,2), så k = f'(1).

Du kan ha det du skriver som mellansteg om du vill, men bara om du skriver x₀, och sätter x₀ = 1.

y = kx+m
y = f'(x₀)x + m

Edit:Det går visserligen att lösa det här helt algebraiskt, men eftersom det blev konstigt så föreslår jag att du ritar upp en bild av kurvan och dess tangent.

Zaino skrev:

Laguna skrev:

Nej. Varför dyker det upp en 2:a i exponenten på raden 2 = 3x²+m?

Jag Deriverar f(x)=x³+1 som blir 3x²

Ja, derivatan av f(x)=3x², men vad är f'(1)? Det är ju riktningskoefficienten för tangenten i den punkt där x-värdet är 1.

En fundering  här -- jag har inga problem att hitta punkten Q,

men gör det sista biten genom att gissa mig fram till en lösning, för man (läs "jag")  får en tredjegrads-ekvation att lösa. Missar jag någon enkel genväg? Vilket sätt att lösa den här uppgiften är egentligen rätt för matte 3, och går den (verkligen, tillräckligt enkelt) att lösa algebraiskt hela vägen?

Har du ritat upp funktionen och tangenten? I så fall ser man tydligt var de korsar varandra. Eftersom det är snälla siffror kan man läsa av dem och verifiera att det stämmer.

Eftersom x=1 är en dubbelrot till ekvationen x³+1=3x-2 vet man att x³+1=(x-1)(x-1)(ax+b) och då bör man kunna ta fram konstanterna a och b.

Men rita är enklast!

1 råkar vara en dubbelrot, men det vet man inte från början. Dock vet man att 1 är en enkelrot, för tangenten och kurvan möts ju där. Delar man sen med x-1 så har man ett andragradsuttryck som man löser med pq-formeln. 

@Smaragdalena - hur tolkar du OP:s "jag ska lösa den här uppgiften algebraliskt." -- Det är naturligtvis helt rätt som du säger att man får en insikt man kan använda för att gissa och verifiera en lösning, men som du säger -- dubbelroten vid tangeringspunkten är ju rätt svar -- därifrån kan man lätt hitta den sista roten helt algebraiskt (även utan att titta på grafen). Det hade jag faktiskt missat.

Laguna skrev:

1 råkar vara en dubbelrot, men det vet man inte från början. Dock vet man att 1 är en enkelrot, för tangenten och kurvan möts ju där. Delar man sen med x-1 så har man ett andragradsuttryck som man löser med pq-formeln. 

Fast... när man har tangenten som ger en rot i tangeringspunkten så inser man att om man hasar upp linen som tangerar så delas roten upp i två rötter (skärningspunkter), så jag tycker nog att man vet att det är en dubbelrot.

PeBo skrev:

Laguna skrev:

1 råkar vara en dubbelrot, men det vet man inte från början. Dock vet man att 1 är en enkelrot, för tangenten och kurvan möts ju där. Delar man sen med x-1 så har man ett andragradsuttryck som man löser med pq-formeln. 

Fast... när man har tangenten som ger en rot i tangeringspunkten så inser man att om man hasar upp linen som tangerar så delas roten upp i två rötter (skärningspunkter), så jag tycker nog att man vet att det är en dubbelrot.

Ni har rätt i att om två kurvor f(x) och g(x) tangerar varandra så är inte bara f(x)-g(x) noll där utan även f'(x)-g'(x) och då har f(x)-g(x) en dubbelrot (och sättet att hasa upp linjen lite är ju också bra), men den insikten hade jag missat. Jag tror inte det nämns på nåt tydligt sätt i kursmaterialet.