Bestämd integral (hur ska jag ta mig vidare?)

Vad är den primitiva funktionen till $\sqrt{1-x^2}$?

Finns flera sätt att lösa uppgiften, varav en du inte behöver integrera alls - din funktion är ju övre halvan av enhetscirkeln (!) - och du vill vet arean i intervallet $x\in [0,1]$. Det vill säga en fjärdedels area av en cirkel med radie 1 l.e.   $\frac{A_{cirkel}}{4}=\frac{{\displaystyle \pi r^2}}{4} : r=1 \Rightarrow A=\frac{{\displaystyle A_{cirkel}}}{{\displaystyle 4}}=\frac{{\displaystyle \pi }}{4} \square$

Men jag förmodar att det inte var din fråga.

Ett sätt är partiell integration, men vanligtvis brukar man göra en substitution i det här fallet. Alltså, ansättningen $x=\sin \left(t\right)$. Dessa två är de två mest effektiva för att lösa ditt problem, bortsett från den geometriska lösningen såklart. Du måste ta hänsyn till att din integrand är en sammansatt funktion, om du deriverar din primitiva funktion (glöm inte inre derivatan) ser du att du inte får integranden.

$$\begin{gathered} {\int }_0^1\sqrt{1-x^2}dx=? \\ byta variabel x mot \sin t ,x=\sin t \Rightarrow dx=\cos t dt \\ eftersom mellan 0 och 1,\sqrt{1-x^2} extrem avtagande kan man ändra x=0 mot t=0 \\ eftersom \sin 0=0 , och x=1 mot t=\frac{\mathrm{\pi }}{2} eftersom \sin \frac{\mathrm{\pi }}{2}=1 \\ vi kommer fram att beräkna {\int }_0^1\sqrt{1-x^2}dx={\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}\sqrt{1-{\sin }^{2}t }\cos tdt={\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}{\cos }^{2}t dt \\ {\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}\frac{\cos \left(2t\right)+1}{2}dt=(\frac{1}{4}\sin 2t+\frac{1}{2}t {)}_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}=\frac{1}{4}\sin (2\times \frac{\mathrm{\pi }}{2})+\frac{\mathrm{\pi }}{4}-\frac{1}{4}\sin 2\times 0-\frac{1}{2}\times 0=\frac{\mathrm{\pi }}{4} \end{gathered}$$