bestäm y
Hej
jag har lite problem med att lösa följande uppgift:
Bestäm y(x) så att y'+x×y2=x och y(0)=2
jag började med att lösa ut x genom att sätta
y'=x(1-y2) och sedan 11-y2×y'=x
Sedan delade jag upp i två integraler ∫11-y2dy=∫xdx
Sedan ska man partialbråksuppdela 11-y2 och få 12×11-y+12×11+y
men sedan får dom -12ln|1-y|+12ln|1+y|=x22+c där förstår jag inte riktigt hur man får fram VL, HL är jag med på.
∫11-y2dy=∫x dxVL=∫(12(1-y)+12(1+y))dy=∫12(1-y)dy+∫12(1+y)dy==12∫1(1-y)dy+12∫1(1+y)dy=12ln|1-y|+12ln|1+y|==12ln|1-y1+y|+C1 där C1 är en konstant.HL=x+C2 där C2 är en konstant.VL=HL ⇒12ln|1-y1+y|+C1=x+C2 ⇒ ln|1-y1+y|+2C1=2x+2C2⇒ln|1-y1+y|=2x+2C2-2C1=2x+C3 jag kallar 2C2-2C1 till C3 som är kontant⇒1-y1+y=e2x+C3 =e2xeC3=Ce2x jag kallar eC3 till C som är en kontant1-y=(1+y)Ce2x=Ce2x+Cye2x ⇒ Cye2x +y=1-Ce2x ⇒(Ce2x+1 )y=1-Ce2x ⇒y=1-Ce2x Ce2x+1 y(0)=2⇒2=1-CC+1⇒2C+2=1-C⇒C=-1Svaret: y=1+e2x 1-e2x