bestäm y

Hej

jag har lite problem med att lösa följande uppgift:

Bestäm y(x) så att $y' + x \times y^{2} = x$ och y(0)=2

jag började med att lösa ut x genom att sätta

$y' = x (1 - y^{2})$ och sedan $\frac{1}{1 - y^{2}} \times y' = x$

Sedan delade jag upp i två integraler $\int \frac{1}{1 - y^{2}} d y = \int x d x$

Sedan ska man partialbråksuppdela $\frac{1}{1 - y^{2}}$ och få $\frac{1}{2} \times \frac{1}{1 - y} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{1 + y}$

men sedan får dom $- \frac{1}{2} \ln |1 - y| + \frac{1}{2} \ln |1 + y| = \frac{x^{2}}{2} + c$ där förstår jag inte riktigt hur man får fram VL, HL är jag med på.

$\int \frac{1}{1 - y^{2}} d y = \int x d x V L = \int (\frac{1}{2 (1 - y)} + \frac{1}{2 (1 + y)}) d y = \int \frac{1}{2 (1 - y)} d y + \int \frac{1}{2 (1 + y)} d y = = \frac{1}{2} \int \frac{1}{(1 - y)} d y + \frac{1}{2} \int \frac{1}{(1 + y)} d y = \frac{1}{2} \ln |1 - y| + \frac{1}{2} \ln |1 + y| = = \frac{1}{2} \ln |\frac{1 - y}{1 + y}| + C_{1} d ä r C_{1} ä r e n k o n s \tan t . H L = x + C_{2} d ä r C_{2} ä r e n k o n s \tan t . V L = H L \Rightarrow \frac{1}{2} \ln |\frac{1 - y}{1 + y}| + C_{1} = x + C_{2} \Rightarrow \ln |\frac{1 - y}{1 + y}| + 2 C_{1} = 2 x + 2 C_{2} \Rightarrow l n |\frac{1 - y}{1 + y}| = 2 x + 2 C_{2} - 2 C_{1} = 2 x + C_{3} j a g k a l l a r 2 C_{2} - 2 C_{1} t i l l C_{3} s o m ä r k o n \tan t \Rightarrow \frac{1 - y}{1 + y} = e^{2 x + C_{3}} = e^{2 x} e^{C_{3}} = C e^{2 x} j a g k a l l a r e^{C_{3}} t i l l C s o m ä r e n k o n \tan t 1 - y = (1 + y) C e^{2 x} = C e^{2 x} + C y e^{2 x} \Rightarrow C y e^{2 x} + y = 1 - C e^{2 x} \Rightarrow (C e^{2 x} + 1) y = 1 - C e^{2 x} \Rightarrow y = \frac{1 - C e^{2 x}}{C e^{2 x} + 1} y (0) = 2 \Rightarrow 2 = \frac{1 - C}{C + 1} \Rightarrow 2 C + 2 = 1 - C \Rightarrow C = - 1 S v a r e t : y = \frac{1 + e^{2 x}}{1 - e^{2 x}}$

Svara