Bestäm y'

Tyvärr fungerar det inte riktigt att derivera bråk på detta sätt. För att derivatan ska bli rätt måste du antingen använda kvotregeln eller produktregeln. :)

Mina metod och svar:

$$\begin{gathered} y=\frac{e^{-x}}{x^2} \\ y\text{'}=\frac{\left(x^2\right)\left(e^{-x}·-1\right)-\left(e^{-x}\right)\left(2x\right)}{x^4} \\ =\frac{-x^2{e}^{-x}-2x{e}^{-x}}{x^4} \\ =\frac{-x(x{e}^{-x}+2e^{-x})}{x^4} \\ =\frac{-e^{-x}(x+2)}{x^3} \end{gathered}$$

Här använder jag kedjeregel $\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]\text{'}=f\text{'}\left(g\right(x\left)\right)·g\text{'}\left(x\right)$ tillsammans med kvotientregel $\left[\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\right]\text{'}=\frac{g\left(x\right)·f\text{'}\left(x\right)-f\left(x\right)·g\text{'}\left(x\right)}{{\left(g\left(x\right)\right)}^2}$.

Du kan även använder kedjregel tillsammans med produktregel $\left[f\left(x\right)·g\left(x\right)\right]\text{'}=f\left(x\right)·g\text{'}\left(x\right)+g\left(x\right)·f\text{'}\left(x\right)$ om du skriva om y som $e^{-x}·x^{-2}$.

med kvotregel fick jag $f\text{'}\left(x\right)=\frac{e^{-x}*x²-e^{-x}*2x}{x⁴}$

stämmer det?

OliviaH skrev:

med kvotregel fick jag $f\text{'}\left(x\right)=\frac{e^{-x}*x²-e^{-x}*2x}{x⁴}$

stämmer det?

Nej, du behöver kedjeregel för att derivera e^-x

$$\begin{gathered} \left(e^{-x}\right)\text{'}=e^{-x}*-1x^{1-1} \\ = e^{-x}*-1 \\ =-e^{-x} \end{gathered}$$

kikade på produktregeln, då kan man göra om ett bråk till mulitplikation, $e^{-x}*(1/x²)$

Kan man göra såhär då? $\frac{1}{x²}=x^{2-1}=x¹= x?$

Nej, $\frac{1}{x^2}=x^{-2}$.

okej så genom produktregeln har jag fått $\frac{e^{-x}}{x²}=e^{-x}*\frac{1}{x²}= e^{-x}* x^{-2}$

Är det rätt?

Ja, det är en funktion som är enklare att derivera än vad den var från början.

mitt nästa steg är alltså att derivera  funktion?

Blir det $e^{-x}*(-2x^{-1)}$

Nej. Du behöver  använda både produktregeln och kedjeregeln.

jag vet inte vilke n den inre och yttre funktionen är..

OliviaH skrev:

mitt nästa steg är alltså att derivera  funktion?

 

Blir det $e^{-x}*(-2x^{-1)}$

Nej du behöver  produktregel: [f(x)*g(x)]'=f(x)*g'(x)+g(x)*f'(x)

Här f(x) är $e^{-x}$

För f'(x) behöver du kedjeregel som ger: f'(x)= $e^{-x} * -1x^0$ = $-e^{-x}$ 

g(x)= $x^{-2}$

g'(x)=$-2x^{-3}$

$e^{-x} * x^{-2}$ = f(x) * g(x)

Enligt produktregel,

[f(x)*g(x)]'

=f(x)*g'(x)+g(x)*f'(x)

=$e^{-x}*-2x^{-3} + x^{-2}*-e^{-x}$

=$-2x^{-3}{e}^{-x} - x^{-2}{e}^{-x}$

=$\frac{-2e^{-x}}{x^3} - \frac{e^{-x}}{x^2}$

=$\frac{-2e^{-x}-x{e}^{-x}}{x^3}$

=$\frac{-e^{-x}\left(2+x\right)}{x^3}$

jag kanske behöver gå igenom fler exempel innan jag ger mig på denna, men hittade att om man vill få ut y'. Så tar man täljarens derivata*nämnaren-täljaren*nämnarens derivata/ allt dividerat med nämnaren i kvadrat. 

$$\begin{gathered} \frac{e^{-x}}{x²} \\ täljarens derivata blir väl samma som är e^{-x} ? \\ \frac{(e^{-x}*x²)-(e^{-x}*2x)}{(x²)²}= \frac{(x²e^{-x})-\left(2x{e}^{-x}\right)}{x⁴} \end{gathered}$$

Verkar som att jag ändå är med på #3 nu, så fortsätter på den vägen

men varför tog du -1 i täljaren?

$$\begin{gathered} \left(x^n\right)\text{'}=n{x}^{n-1} \\ \left(x^{-2}\right)\text{'}=-2x^{-2-1}=-2x^{-3} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} e^{-x} \\ u=-x \\ ytre: e^u \\ inre: u \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \left(e^{-x}\right)\text{'} \\ =\left(e^u\right)\text{'}·u\text{'} \\ =e^u·u\text{'} \\ =e^{-x}·(-x)\text{'} \\ =e^{-x}·\left(-1x^{1-1}\right) \\ =e^{-x}·\left(-1\right) \\ =-e^{-x} \end{gathered}$$

när jag deriverar e^(-x) då tänker jag att det blir 

-1e^(-1x-1)= -e^(-2x)

nu har jag kikat på uppgiften igen, och har gjort såhär..