Bestäm volymen

Uppgiften är lik de du gjort tidigare.

Integrationsgränserna är givna, vilka är de?

Hur ser uttrycket ut för arean av en "skiva" som sen ska integreras.

Katarina149 skrev:

ln(x)=e 

Nej, här var det nog lite feltänkt.

Lösningen till den ekvation du har satt upp är den x-koordinat där grafen till y = ln(x) har höjden e. Den har inget med det angivna området att göra.

Om du istället vill hitta områdets övre gräns så kan du leta efter skärningspunkten mellan linjen x = e och grafen till y = ln(x). Den får du helt enkelt genom y = ln(e).

e^ln(x) = e^e

x=e 

Nej, vart tog exponenten i HL vägen?

Ekvationen har lösningen x = e^e, dvs x $\approx$ 15,2.

Men som sagt, den ekvationen är inte relevant för uppgiften.

Men hur ska man tänka sen? Vilken area är det de vill att jag ska räkna? Jag förstår inte vad jag ska göra

Läs uppgiften noga. Där står tydligt

• vilket område det är som ska rotera och
• kring vilken koordinataxel det ska rotera.

Gör nu så här:

1. Visa att du förstår vilket område som ska roteras genom att färglägga det. Visa oss.
2. Visa att du förstår hur området roterar genom att göra en grov skiss av rotationskroppen. Visa oss.

Först därefter kan vi börja fundera på metoder att beräkna volymen.

Jag har några frågor.

1.  Hur löser man ekvationen ln(x)=e ? jag har problem med att lösa den ekvationen? varför är den ekvationen relevant för uppgiften? Vi vill ju hitta integrationsgränsen?

2. Jag förstår inte vad det är man ska räkna ut med uppgiften. 

2. Jag tror du bör ta ett steg tillbaka och fundera på vad du gör. Du har räknat flera andra tal där en funktion roterar runt x-axeln och bildar en volym. Gå igenom några av dessa eller läs exempel i matteboken.
Du kan också ta en enkel funktion, t ex y=x i intervallet 0 till h och låt den rotera runt x-axeln.
Rita en figur i "3D" så du ser kroppen som bildas. 
Vad är funktionen för arean av varje "skiva"? Ser du att integralen av den funktionen är som att summera en massa små skivor tills du får en volym?
Vad blir volymen? (Jämför det med formeln för volymen av en kon.)

Är det så man ska göra till och börja med?

Katarina149 skrev:

Jag har några frågor.

1.  Hur löser man ekvationen ln(x)=e ? jag har problem med att lösa den ekvationen? varför är den ekvationen relevant för uppgiften? Vi vill ju hitta integrationsgränsen?

Det är den inte. Det var du som i första inlägget föreslog att den ekvationen skulle användas. Jag skrev då i svar #3 att den ekvationen inte är relevant.

 

2. Jag förstår inte vad det är man ska räkna ut med uppgiften. 

Den förståelsen behöver du träna på att skaffa dig på egen hand. Följ mina "Gör nu så här", steg 1 och 2 som jag beskrev i svar #3.

Katarina149 skrev:

Är det så man ska göra till och börja med?

Nej.

Det är ingen idé att ställa upp integraler innan du vet hur rotationskroppen du ska volymberäkna ser ut. Det är först då du kan ställa upp rätt integrand och ta fram rätt integrationsgränser.

Förståelsen för hur rotationskroppen ser ut skaffar du dig genom att följa mina steg 1 och 2 i svar #3.

Gör det. Gör inget annat.

Yngve skrev:

Katarina149 skrev:

ln(x)=e 

Nej, här var det nog lite feltänkt.

Lösningen till den ekvation du har satt upp är den x-koordinat där grafen till y = ln(x) har höjden e. Den har inget med det angivna området att göra.

Om du istället vill hitta områdets övre gräns så kan du leta efter skärningspunkten mellan linjen x = e och grafen till y = ln(x). Den får du helt enkelt genom y = ln(e).

e^ln(x) = e^e

x=e 

Nej, vart tog exponenten i HL vägen?

Ekvationen har lösningen x = e^e, dvs x $\approx$ 15,2.

Men som sagt, den ekvationen är inte relevant för uppgiften.

Men hur ska man tänka sen? Vilken area är det de vill att jag ska räkna? Jag förstår inte vad jag ska göra

Läs uppgiften noga. Där står tydligt

• vilket område det är som ska rotera och
• kring vilken koordinataxel det ska rotera.

Gör nu så här:

1. Visa att du förstår vilket område som ska roteras genom att färglägga det. Visa oss.
2. Visa att du förstår hur området roterar genom att göra en grov skiss av rotationskroppen. Visa oss.

Först därefter kan vi börja fundera på metoder att beräkna volymen.

”Gör så här nu”

1. Är det inte volymen på dessa skivor som vi vill räkna ut?

Yngve skrev:

Gör nu så här:

1. Visa att du förstår vilket område som ska roteras genom att färglägga det. Visa oss.

Du tar för stora steg.

Läs punkt 1 igen. Gör bara punkt 1.

Dvs markera det område som begränsas av x = e, x-axeln och grafen till y = ln(x).

Inget annat.

Är det den arean vi vill räkna ut 

Bra. Detvar punkt 1.

Det är detta område som roterar runt y-axeln.

Försök nu att åskådliggöra denna rotation i en separat skiss, dvs gör punkt 2.

Det ser bra ut.

Nu är dags att funder på funktionen som ska integreras samt integrationsgränserna.

Hur ser arean av varje "skiva" ut?

Funktionen som ska integreras är väl y=ln(x) inom intervallet x=0 och x=e

Nej. Du ritade volymen i #13. Rotationen är runt y-axeln. Hur ser arean för en "skiva" ut?

Det svarta markerade är arean på en skiva 

Ja. Det du vill integrera alla dessa små skivor som ovanpå varandra tillsammans bildar kroppen.

Skivorna är runda. Vad är radien av en skiva? Var är dess area?

Diametern på ”skivorna” sträcker sig från x=-1 till 1 alltså är det 2 . Radien blir 1 , ska jag alltså integrera f(x)=ln(x) mellan x=-e till x=e. Eller är radien lika med e? Nu blir jag förvirrad 

Radien varierar enligt funktionen. Vid y=0 är den 1.

Titta på skivorna i figuren. De ligger runt y-axeln. Då måste du integrera i y-led, inte i x-led.
Är du med på det? Det är helt avgörande att du förstår det innan du går vidare. 

Principen för integraler är att en area eller volym delas in i oändligt tunna remsor eller skivor där varje höjd/radie fås av funktionen. Dessa summeras, integreras, sen över ett område.

”Titta på skivorna i figuren. De ligger runt y-axeln. Då måste du integrera i y-led, inte i x-led.

Är du med på det?”

Svar : Nej jag är inte med på det. Varför ska man integrera med y värderna och inte x? Och vad menar du med att man integrerar i y led?

Du har ritat kroppen i #13. Då vet du att den är rund och har radien 1 i basen och har en större radie i toppen.
Och om du tänker den som en stapel av skivor så är de de uppträdda med y-axeln som en "mittpinne". Ok?

Ja så långt är jag med

För att få fram volymen av hela kroppen summerar man volymen av alla tunna skivor från y=0 upp till övre gränsen. Det är det vi gör genom integrering. Ok?

Okej så långt är jag med

Då är du med på att vi integrerar i y-led. Gränserna är ju y=0 och y=en övre gräns.

Och att varje skiva har en radie i x-led. Som dessutom varierar med höjden.

För att hitta övre gränsen har vi fått veta att x=e begränsar volymen. Vi vet att konturen av kroppen beskrivs av y=ln(x). Vad blir då y för den övre integrationsgränsen?

Blir y värdet ln(e)=y ?

jag hängde inte med på vad du menade här 

”Vi vet att konturen av kroppen beskrivs av y=ln(x). Vad blir då y för den övre integrationsgränsen?”

vad är konturen och hur kan man hitta den övre integrationsgränsen?

Ja (titta på din graf du la upp i frågan), y=ln(2). För större y är x>e och x=e var ju en av gränserna.

Om du jämför grafen i frågan med din figur i #13 ser du att y:s övre gräns är y=ln(e).

Konturen = kurvan. Det är ju den som roterar.

Ok så långt hänger jag med 

Ok. Då vet det du att du ska integrera över y från y=0 till y=ln(e)=1.

Skivorna du ska integrera, vad är deras radie? Eftersom radien är i x-led ska radien uttryckas som x=f(y). Det är ju en area som beror av radien som ska integreras i y-led.

man ska ju använda formeln 

delta V=r²*pi * delta y 

då ska man väl ta  pi * Integralen av (ln(x))²  mellan y=0 till  y=ln(e) 

Vad är uttrycket för radien?

Är inte y=ln(x) = radien 

Titta på din figur. Du var ju med på att skivorna är staplade med y-axeln som mitt. Radien är i x-led, eller hur?
Principskiss, ej exakt form:

Radien är e då tänker jag från x=0 till x=e ger en radie på e

Högst upp är radien e, där y=1. Radien är olika för olika y.
Du integrerar över y. Funktionen du ska integrera är arean av en skiva för ett visst y-värde.
Du ska uttrycka radien x som funktion av y.

Är inte ett uttryck för radien y=ln(x) där man ska upphöja ln(x) med 2? Blir förvirrad nu. Det finns alltså inte ett enda värde på radien för skivorna är olika stora. Alltså bör man uttrycka radien med en variabel 

Titta på din graf i frågan. Och din figur i #13. Radien är ju i x-led, den kan omöjligen vara y.
Radien är olika för olika y. Du ska uttrycka radien x som en funktion av y.

Hur kan man uttrycka radien x uttryckt i y? Måste jag lösa ut x ur ln(x)?  Hur gör man det ?

Man gör "e upphöjt till" på båda sidorna:

y=ln(x)
e^y=x

Då får man 

e^y= e^ln(x) 

vad blir e^ln(x) blir det x? Dvs att x=e^y

Då är radien e^y

Ja. e^ och ln är ju inversen till varandra.

Nu har du ett uttryck för radien. Då kan du göra ett uttryck för varje skivas area. Och sen sätta upp integralen.

Alltså eftersom att de runda cirklarna snurrar runt y led så kommer radien att hamna i x led medans man ska använda integrationsgränsen som finns i y led

Ja. Hur blir det?

Ok, vad blir det?

Jag tror ni är på fel spår.

När ytan i inlägg 11 roterar runt y axeln blir det en ring med tvärsnitt enl bilden i inlägg 11.

Figuren i inlögg 34 är därmed fel och ni integrerar fel kropp. 

Ture skrev:

Jag tror ni är på fel spår.

När ytan i inlägg 11 roterar runt y axeln blir det en ring med tvärsnitt enl bilden i inlägg 11.

Figuren i inlögg 34 är därmed fel och ni integrerar fel kropp. 

Hur menar du?

Uppgift 3616 facit 

Ture har rätt. Jag hade fått för mig att det var kroppen innanför y=ln(x) men det är "ringen" under y=ln(x) och mellan x=1 och x=e.

Det du beräknat är just den delen som ska bort om man följer facits tips.

Okej nu blir jag jätte förvirrad . Vad var det vi isåfall beräknade ? Och vad är det som blev fel?

Det du beräknade är rotationsvolymen mellan kurvan och y-axeln i området y=0 till y=1.

Det de frågade efter var volymen som var "under" den volymen, dvs mellan kurvan och x-axeln ut till radien e.

En cylinder med radien r=e och höjden h=1 har volymen pi*e^2.
Om du tar den volymen minus det du beräknade får du svaret som facit ger och med den metod de föreslår.

(Volymen hade även kunnat beräknas som volymen mellan övre funktionen x=e och undre funktionen x=e^y, det är samma sak.)

Det centrala är att du är med på hur man delar in en rotationsvolym i skivor, finner ett uttryck för dess radie, och integrerar ihop alla skivorna. Allt du gjorde ovan är korrekt vad gäller att beräkna den volym du skissade i #13.

Kan du markera mellan ”Det de frågade efter var volymen som var "under" den volymen, dvs mellan kurvan och x-axeln ut till radien e.”

Vilken ”volym” ska vi räkna ut? Vilken volym ska vi inte räkna ut. 

Vi beräknande den här volymen (när den markerade ytan roterat):

Det de frågade efter var den här volymen (när markerade ytan roterat):
Som du ser är deras sammanlagda volym en cylinder med r=e och h=1, dvs Vtot=pi*e^2

Du ska beräkna volymen av en cylinder med ett hål i mitten.

Cylinderns radie är e och dess höjd är 1.

Hålet i mitten har en radie som är 1 längst ner, dvs vid y = 0 och en radie som är e högst upp, dvs vid y = 1.

Yngve skrev:

Du ska beräkna volymen av en cylinder med ett hål i mitten.

Cylinderns radie är e och dess höjd är 1.

Hålet i mitten har en radie som är 1 längst ner, dvs vid y = 0 och en radie som är e högst upp, dvs vid y = 1.

Kan du förklara med hjälp av en bild? För jag hänger inte med på vad du menar 

Programmeraren skrev:

Vi beräknande den här volymen (när den markerade ytan roterat):

Det de frågade efter var den här volymen (när markerade ytan roterat):
Som du ser är deras sammanlagda volym en cylinder med r=e och h=1, dvs Vtot=pi*e^2

Hur ska man veta vilken volymen man ska räkna ut, ifall det ska vara den som är lila markerad eller den som är röd markerad? Och vad är skillnaden mellan ifall man räknar ut volymen av den lila eller röda delen?

Du ritade kroppen i #13 som du sen beräknade. Det är den övre bilden, den röda volymen (när den roterar runt y-axeln).

Löser man uppgiften står det:

Det är en beskrivning av den undre bilden som sedan roteras runt y-axeln till en volym.

det blir tydligare om du förklarar med en bild eller skiss

Programmeraren skrev:

Du ritade kroppen i #13 som du sen beräknade. Det är den övre bilden, den röda volymen (när den roterar runt y-axeln).

Löser man uppgiften står det:

Det är en beskrivning av den undre bilden som sedan roteras runt y-axeln till en volym.

Men hur ska man kunna förstå att det är en beskrivning av den "undre bilden" som sedan roteras runt y-axeln till en volym?

#59 är ju en bild. Rotera det lilafärgade området runt y-axeln så har du kroppens utseende.

Gör du en cylinder med radien e och höjden 1 och TAR BORT den volymen du ritade i #13 och sedan beräknade (motsvarande den röda ytan som roterar)  får du det de frågar efter (dvs kroppen som fås om det lila området roterar).

Katarina149 skrev:

Programmeraren skrev:

Du ritade kroppen i #13 som du sen beräknade. Det är den övre bilden, den röda volymen (när den roterar runt y-axeln).

Löser man uppgiften står det:

Det är en beskrivning av den undre bilden som sedan roteras runt y-axeln till en volym.

Men hur ska man kunna förstå att det är en beskrivning av den "undre bilden" som sedan roteras runt y-axeln till en volym?

Meningen beskriver 3 linjer. Linjerna begränsar ett område. Det är entydigt. Det är det lila området. Sen roterar man området och får en volym.

jaha okej det står ju klart och tydligt i uppgiften "låt det område sombegränsas av y=ln(x) och x=e rotera kring y axeln".. Okej nu förstår jag iaf varför man ska räkna ut volymen på den lila delen . Men nu handlar det om att förstå hur man ska göra det

Nu måste jag integrera men ska jag använda integrationsgränser i y led eller x led?

Du vet redan hur du räknar ut det. Vi råkade av misstag följa tipset i facit, att beräkna volymen mellan kurvan och y-axeln.
Om man tar volymen för den omslutande cylindern och subtraherar det vi beräknade återstår volymen de frågar efter. Du har alltså så när som på den detaljen redan räknat ut det. Jag har utförligt beskrivit det ovan.

Du frågar om du ska integrera över x eller y. Det får mig att tro att du inte alls är med på vad som pågår här, vi har ju räknat ut allt och rotationsriktningen har plötsligt inte förändrats. Jag tror du i lugn och ro ska läsa om tråden, åtminstone från #13. Inte skumma igenom. Förstå varje steg.

Om det inte fungerar tycker jag du ska backa tre steg och göra enklare tal där du ser grunderna för integrering. Börja med areor. Och se till att du förstås vad du gör och varför. Inte mekaniskt räkna utan att egentligen förstå, det är meningslöst. Förstår man t ex inte under- och överfunktion för areor är det olämpligt att börja med volymer.

Jag har nu läst igenom men jag har fortfarande några funderingar. Varför ska man ta cylinders volym minus den ”röda” volymen som vi från allra början räknade ut för att få fram den efterfrågade volymen?

Jag förstår inte vad jag gör men jag gör ett försök 

man ska ta cylinderns rotationsvolym minus funktionen f(x) rotationsvolym. 

Alltså : 

$$\begin{gathered} cylinderns volym : \\ ∆v=r^2\times \mathrm{\pi }\times \mathrm{h} \\ ∆\mathrm{v}={\mathrm{e}}^2\times \mathrm{\pi }\times 1={\mathrm{e}}^2 \\ \mathrm{Volymen} \mathrm{av} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\ln \left(\mathrm{x}\right) \\ ∆\mathrm{v}={\mathrm{r}}^2\times \mathrm{\pi }\times ∆\mathrm{y} \\ \mathrm{\pi }\times {\int }_0^1\left({\mathrm{e}}^{2\mathrm{y}}\right)={{\left[\frac{{\mathrm{e}}^{2\mathrm{y}}}{2}\right]}^1}_0=\frac{{\mathrm{e}}^2}{2}-\frac{{\mathrm{e}}^0}{2}=\frac{{\mathrm{e}}^2-1}{2} \mathrm{v}.\mathrm{e} \\ \mathrm{Även} \det \mathrm{här} \mathrm{försöket} \mathrm{blir} \det \mathrm{fel} :( \end{gathered}$$

Kontrollera dina uträkningar steg för steg, du har gjort ett enkelt misstag.

Det är bra att träna på att hitta sådana.

Det är förståelsen för frågan jag bör träna upp inte bara uträkningen. Var jag på rätt spår i min sista uträkning?

Det ser bra ut. Hela cylinders volym minus rotationsvolymen mellan kurvan och y-axeln är rätt.
Gör du nu det sista steget, subtraktionen, så får du svaret.

Det enda felet är som Yngve säger ett slarvfel (om du inte ser det direkt kommer du bli påmind då du jämför med facit).

Felet är väl att delta V=e²*pi  dvs cylinderns volym. 
Hur gör jag nu? Ska jag enbart ta skillnaden mellan cylinders volym och (e²-1)/2?

Cylindern är ju summan av volymen innanför och utanför "skalet" som kurvan bildar. Så volymen av kroppen utanför kurvan är samma sak som volymen av cylindern minus volymen av kroppen innanför kurvan.

Du tappade bort pi även i integraluträkningen.

Katarina149 skrev:

Det är förståelsen för frågan jag bör träna upp inte bara uträkningen. Var jag på rätt spår i min sista uträkning?

Om din tankegång var följande så var du på rätt spår:

1. Rotationskroppen har formen av en cylinder med en urgröpning i.
2. Denna urgröpning bildar ett hål rakt igenom cylindern.
3. Vi kan beräkna rotationskroppens volym genom att beräkna cylinderns volym och sedan från den subtrahera hålets volym.
4. Om vi kallar rotationskroppens volym V, cylinderns volym V₁ och hålets volym V₂ så kan vi alltså beräkna rotationskroppens volym som V = V₁-V₂.

Var det så du tänkte?

Jag har några frågor. 
1. kan ni istället förklara med hjälp av en skiss på just varför man ska ta skillnaden av en cylinder minus innerhålet. Jag förstår inte vart cylindern kommer ifrån. Varför ska jag beräkna volymen av en cylinder? Vart kom den ifrån? Hur kan man se att det ska vara en cylinder? Och varför ska jag ta minus rotationskropps volymen av den område som begränsad av funktionen y=ln(x) och x=e?

(Jag förstår alltid bäst när ni förklara med en bild/skiss)!

Den undre skissen visar det område som ska rotera runt y-axeln.

Den övre bilden är ett försök till 3D-illustration av hur rotationskroppen då kommer att se ut

Varför tar man isåfall rotationsvolymen av ”cylindern” minus rotationsvolymen av det område som ska rotera runt y-axeln (den nedre skissen) . Är det för att få fram det sträckande området inuti cylindern? Visa gärna med din bild vad det är vi kommer få fram om vi subtraherar cylinderns volym minus det område som roterar kring y axeln 

En sak i taget.

Förstår du nu hur rotationskroppen ser ut?

Dvs att den ser ut som en "hockeypuck" med ett hål i mitten? Och att radien på hålet i mitten varierar med höjden?

Bildas det en cylinder för vi har en vertikal linje i första kvadraten? 

Svara bara på min fråga.

Förstår du nu hur rotationskroppen ser ut? 
Jag förstår så där . Inte helt . Men jag undrar hur du fick fram att det bildas en cylinder 

Vet du hur en hockeypuck ser ut?

Nej 

Men jag googlade upp det . Så ser den ut

Bra. Den har alltså formen av en cylinder.

Tänk dig nu att du gröper ur ett hål i pucken, från den övre platta sidan till den undre platta sidan.

För enkelhets skull kan vi tänka att detta hål har samma radie rakt igenom.

Är du med så långt?

Du menar väl att vi ska föreställa oss att det är ett hål inuti cylindern som du har ritat med vit färg?

Ja, du borrar ett hål rakt igenom pucken.

Då ser den ut ungefär så här uppifrån:

Jaha okej. Men om man skulle ha skissat cylinder i kordinatsystemet hur skulle det isåfall se ut? 

Yngve skrev:

Ja, du borrar ett hål rakt igenom pucken.

Då ser den ut ungefär så här uppifrån:

Jag förstår ditt tankesätt 

Bra.

Säg nu att puckens höjd är $h$, att dess radie är $r_1$ och att hålets radie är $r_2$.

Då var puckens volym innan vi borrade ut hålet lika med $V_1=\pi\cdot {r_1}^2\cdot h$

Den mängd material som vi borrade bort, dvs hålets volym är då lika med $V_2=\pi\cdot {r_2}^2\cdot h$

Den mängd material som är kvar i pucken efter att vi borrat ut hålet är nu $V=V_1-V_2$

Är du med på det?

Okej. Jag förstår ditt exempel och hänger med på tankesättet. Men varför ger rotationsvolymenav funktionen  y=ln(x) volymen V2? 

Dvs vi tar en cylinder med en viss volym $V_1$, vi gröper ur ett hål som har volymen $V_2$.

Det vi har kvar är $V=V_1-V_2$

Katarina149 skrev:

Okej. Jag förstår ditt exempel och hänger med på tankesättet. Men varför ger rotationsvolymenav funktionen  y=ln(x) volymen V2? 

Det gör den inte. Det är hålet som har volymen $V_2$.

Cylindern som har radien $e$ och höjden $1$ har volymen $V_1$

Vi gröper ur ett hål (som med pucken fast detta hål är inte cylinderformat) som har volymen $V_2$.

Det som blir kvar har volymen $V=V_1-V_2$

Yngve skrev:

Dvs vi tar en cylinder med en viss volym $V_1$, vi gröper ur ett hål som har volymen $V_2$.

Det vi har kvar är $V=V_1-V_2$

 

Ok. Detta har jag förstått. Men om vi kopplar ditt exempel om hockey pucken till grafen nedan 

Yngve skrev:

Katarina149 skrev:

Okej. Jag förstår ditt exempel och hänger med på tankesättet. Men varför ger rotationsvolymenav funktionen  y=ln(x) volymen V2? 

Det gör den inte. Det är hålet som har volymen $V_2$

Jaha hålet har volymen V2. Men vilken rotationsvolym är det som gör att det utriden cylindern bildas ett hål i mitten?

Läs nu svar #78 igen.

Där förklarade jag det.

Yngve skrev:

Den undre skissen visar det område som ska rotera runt y-axeln.

Den övre bilden är ett försök till 3D-illustration av hur rotationskroppen då kommer att se ut

Kan du förklara den här bilden. Jag förstod inte riktigt din förklaring här 

Om det här området roterar ettvarv runt y-axeln bildas en rotationskropp som ser ut som hockeypucken med ett cylindriskt hål i mitten.

Är du med på det?

Menar du att om dessa två rektanglar roterar runt y axeln bildas en cylinder med ett hål u mitten. Om det är det du menar  så hänger jag med

Ja, det är så jag menar.

Förstår du då hur rotationskroppen från denna uppgift ser ut?

Dvs om de två områdena i undre bilden i svar #78 roterar runt y-axeln. 

Ja jag förstår men Varför ritar du två rektanglar som ska rotera? Vi har grafen f(x)=ln(x) och en annan graf x=e . Hur får du dessa grafer till att bli två rektanglar?

Rektanglarna i svar #99 hör till det förenklade exemplet med pucken.

Jag gjorde ett förenklat exempel på hur man kan tänka för att komma fram till V = V₁-V₂.

Dessa rektanglar har i övrigt inget med ursprungsuppgiften att göra.

För ursprungsuppgiften gäller skissen i svar #78.

Okej. Alltså sammanfattningsvis ska man förstå att man ska ta cylinderns rotationsvolym minus funktionen f(x)=ln(x) rotationsvolym kring y axeln. Detta ger oss V2. Vilket är volymen på hålet 

Ja, men det är viktigt att noga beskriva vad man menar.

Hålet är det utrymme som skapas då det område som begränsas av linjen y = 1, x-axeln, y-axeln och grafen till y = ln(x) roterar ett varv runt y-axeln.

Dvs det rödmarkerade området i svar #56.

Cylinderns volym är V₁

Hålets volym är V₂

=========

Volymen av den rotationskropp som uppgiften gäller är V = V₁-V₂.

Bildas inte hålets utrymme av det område som är lila markerat i svar #56 . Varför är det just det röda området? 

Nej, den rotationskropp som bildas av det lilanarkerade området har Volymen V.

Det är denna volym som efterfrågas i uppgiften

Det är den del som är kvar när vi har grönt ur ett hål med volym V₂ ur en cylinder med volym V₁

Läs uppgiften igen så ser du förhoppningsvis det.

Jag förstår inte vad du menar 

Då börjar vi om från början.

Gör det jag skriver. Gör bara det jag skriver.

1. Läs ursprungsuppgiften noga.
2. Rita ett koordinatsystem.
3. Rita grafen till y = ln(x).
4. Rita linjen x = e.
5. Markera x-axeln.
6. Färglägg det område som omsluts av dessa begränsningar.
7. Visa din skiss 
8. Gör en ny skiss som visar hur rotationskroppen ser ut. Visa din skiss.

Snyggt.

Är du med på att rotationskroppen ser ut ungefär så här?

Där "insidan" är ljusgrön.

Menar du att rotationskroppen av funktionen y=ln(x)? Vad är skillnaden mellan den ljus gröna och mörk gröna området?

Vad menar du med ”Där "insidan" är ljusgrön.”

Återigen - att säga "rotationskroppen av funktionen y = ln(x)" är alldeles för otydligt.

y = ln(x) beskriver en graf, dvs en kurva.

Om du roterar den kurvan ett varv runt y-axeln så bildas ingen sluten kropp utan istället en tratt.

Du måste ange ett område på något sätt. Som i uppgiftslydelsen.

=====

Det ljusgröna illustrerar hålets väggar.

Det mörkgröna illustrerar cylinderns horisontella väggar.

Ett annat sätt att göra en 3D-illustration av rotationskroppen är som jag ritade i svar #78.

Yngve skrev:

Den undre skissen visar det område som ska rotera runt y-axeln.

Den övre bilden är ett försök till 3D-illustration av hur rotationskroppen då kommer att se ut

Bilden försvann. Men jag tycker det är fortfarande otydligt vad du menar med den gröna och mörk gröna 

Så här.

Den ljus gröna delen bildar alltså insidan av cylindern dvs det timma rummet  medans den mörka gröna delen bildar cylindern som har ett hål i mitten 

Ja, ungefär.

• Den ljusgrönt färgade begränsningsytan är rotationskroppens "inre" vägg. Den är välvd (kurvad).
• Den mörkgrönt färgade begränsningsytan är rotationskroppens "yttre" vägg. Den är rak och vertikal.

 alltså bildar den ljusgröna delen ”tratten inuti cylindern” som har ett hål i mitten av tratten medans den mörka delen bildar cylindern 

Ja, så kan vi säga.

Det ser alltså ut som pucken med hål i, fast detta hål har inte raka "kanter".

hålet i volymen ser ut ut att vara som hålet inuti en tratt.. Är det så du menar?

Ja, fast detta hål har inte raka kanter.

Cylindern utan hål:

Cylindern med hål:

Ok nu tror jag att jag förstår uppgiften 

Bra. Förstår du då även hur uträkningen går till?

Man ska räkna ut volymen av en cylinder minus volymen av "tratten" då får man hålets volym 

när jag skriver volym så syftar jag på rotationsvolymen

Nej, du börjar med en cylinder med volymen V₁.

Sedan gräver du ett hål i den cylindern. Den mängd material du gräver bort har volymen V_2.

Det som blir kvar är då en rotationskropp med volymen V = V₁-V₂.

ja det är det jag menade

Bra. Förstår du då hur du kan beräkna rotationkroppens volym?

Grönmarkera gärna uppgiften om du känner att du inte behöver mer hjälp.

(Det finns även andra sätt att beräkna volymen, men denna metod är nog den enklaste.)