Bestäm vilka areor som kan bildas
Hej jag har fastnat på följande uppgift.
" L1 och L2 är rätvinkliga mot varandra. Tillsammans med x-axeln bildar de en triangel i första kvadranten. L1 går igenom origo och L2 går igenom (0,5). Linjerna skär varandra där x=2. Vilka areor kan triangeln ha?"
Så långt har jag kommit.
Hur kommer jag vidare?
Rita in exempel på L1 och L2 också så att du får en triangel.
Jag har upptäckt att k värdet för L2 måste vara mindre än 0 för att det ska kunna bildas en triangel. Ovan har du ett exempel på en triangel
solskenet skrev:Jag har upptäckt att k värdet för L2 måste vara mindre än 0 för att det ska kunna bildas en triangel. Ovan har du ett exempel på en triangel
Glöm inte att ena skär genom origo dvs (0,0). nu har du 2 linjer där varken går igenom origo.
Namnge linjerna L1 och L2 i din figur så att det blir tydligt vilka de är. Exempel:
solskenet skrev:...
Hur kommer jag vidare?
Du har en utmärkt bra början redan.
För L1 gäller
För L2 gäller
där och .
Du vet även att linjerna skär varandra då .
Det kan du använda för att sätta upp ytterligare ett samband mellan L1 och L2.
Nästa steg blir att ta fram ett uttryck för triangelns area, där uttrycket beror på någon kombination av det du vet och det du har en obekant storhet för (som eller ).
Randyyy skrev:solskenet skrev:Jag har upptäckt att k värdet för L2 måste vara mindre än 0 för att det ska kunna bildas en triangel. Ovan har du ett exempel på en triangel
Glöm inte att ena skär genom origo dvs (0,0). nu har du 2 linjer där varken går igenom origo.
Jo, x-axeln går ju genom origo.
Edit: fast de är inte i rät vinkel, så det var ju ändå inte bra.
Laguna skrev:Randyyy skrev:solskenet skrev:Jag har upptäckt att k värdet för L2 måste vara mindre än 0 för att det ska kunna bildas en triangel. Ovan har du ett exempel på en triangel
Glöm inte att ena skär genom origo dvs (0,0). nu har du 2 linjer där varken går igenom origo.
Jo, x-axeln går ju genom origo.
Edit: fast de är inte i rät vinkel, så det var ju ändå inte bra.
Jag tänkte åt hållet som Yngves bild illustrerade men ser nu att jag formulerade det väldigt dåligt eftersom du har rätt att även en linje genom x-axeln går igenom origo.
Yngve skrev:solskenet skrev:...
Hur kommer jag vidare?
Du har en utmärkt bra början redan.
För L1 gäller
För L2 gäller
där och .
Du vet även att linjerna skär varandra då .
Det kan du använda för att sätta upp ytterligare ett samband mellan L1 och L2.
Så långt har jag lyckats komma. y=2*K1 ger oss höjden av en viss triangel. y=2*k2+5 ger oss en annan höjd där k1 *k2 =-1 , (de skär varandra där x=2). K1 = . Vad blir nästa steg?
Vi har inte sett någon korrekt ritad triangel än.
Edit: jo, det har vi ju, av Yngve.
Yngve skrev:Namnge linjerna L1 och L2 i din figur så att det blir tydligt vilka de är. Exempel:
vad hjälper bilden med? Hur kan jag använda bilden för att lösa uppgiften?
Kan du rita en sådan bild med den minsta möjliga triangeln? Och den största möjliga?
Edit: nu tänkte jag fel igen.
solskenet skrev:
vad hjälper bilden med? Hur kan jag använda bilden för att lösa uppgiften?
Uppgiften gäller att ta reda på vilka möjliga areor triangeln kan ha.
- Bilden hjälper dig att förstå vilka storheter du behöver ta reda på för att lösa uppgiften.
- Bilden hjälper dig att se att du till exempel kan välja triangelns bas att vara sträckan AC och att triangelns höjd då blir sträckan BD, se ny bild.
- Bilden hjälper dig alltså att förstå att du behöver ta reda på koordinaterna för punkterna A, B, C och D (uttryckta i t.ex. ).
Om du vet dessa koordinater så kan du enkelt beräkna trianglarnas areor med hjälp av formeln Area = bas*höjd/2.
Är du med på det?
Nästa steg blir att ta reda på vilka de möjliga värdena på är och det kan du göra på följande sätt:
Linjen L1 har ekvationen
Linjen L2 har ekvationen
Eftersom linjerna är vinkelräta så gäller att , dvs
Det ger oss en ny ekvation för L2:
Då så har L1 höjden och linjen L2 höjden .
Eftersom linjerna då skär varandra så är dessa -värden lika stora, vilket ger ekvationen .
Lös ut ur denna ekvation så får du fram alla möjliga värden som kan ha.
Kommer du vidare då?
Här gör jag ett litet variabel byte där k1=x. Men k värdet för linjen L1 skulle ju ha ett positivt k värde
Jag tror Yngve blandade ihop L1 och L2 ett ögonblick, så det är k2 du har fått fram.
K2 är alltså
-0.5 >k2>-2
hur beräknar jag k1
Ja, jag råkade blanda ihop L1 och L2.
I min bild gick L1 genom origo och L2 genom (0:5) men i mina uträkningar så bytte jag plats på dem och angav istället ekvationen för L1 och ekvationen för L2.
Din uträkning är rätt. Du har kommit fram till de enda två möjliga lutningarna på den linje som går genom (0:5). Enklast är nog att döpa om linjerna så att det istället blir så här:
solskenet skrev:K2 är alltså
-0.5 >k2>-2
hur beräknar jag k1
Nej det stämmer inte. Din andragradsekvation har exakt två lösningar, villet innebär att den linje som går genom (0:5) endast har två möjliga lutningar, nämligen -0,5 eller -2.
För alla andra lutningar är det omöjligt att få till villkoret att de två linjerna ska skära varandra i en rät vinkel då x = 2.
Du behöver inte beräkna det andra k-värdet, men om du vill det så gäller fortfarande .
Jag föreslår som ovan att du döper om linjerna så att och .
De möjliga k värden för K2 är alltså - 0.5 och - 2. Vidare är de möjliga k värden för K1 är 2 och 0.5.
Vi vet att k1 >0 och att k2<0.
Detta gäller även k1*k2 =-1
Det innebär att när k2 är - 0.5 så är k1 = 2 och när k1 är 0.5 är k2= - 2.
Arean beräknas genom att ta bh/2.
Om L2 är - 2x+5 och L1 0.5x då blir Arean 2*1/2 =1 ae.
om L2 istället är y= - 0.5x+5 och L1 y= 2x då blir arean 2*4/2=4ae. Är det rätt tänkt?
Nej det stämmer inte. Hur kommer du fram till att b = 2 och h = 1 i första fallet och att b = 2 och h = 4 i andra fallet?
Kan du markera b och h i en figur?
Första bilden visar att x värdet är 2 och y värdet dvs höjden är 1.
Andra bilden visar höjd 4 cm vilket är y värdet och en bas på 2.. Är tveksam gällande hur man avgör vad som är bas respektive höjd
För båda trianglarna gäller att basen har värdet 5 och höjden har värdet 2. Detta gäller även för alla icke-rätvinkliga trianglar med hörnen i origo, (0,5) och (2,y).
vilken triangel ska man räkna med? Jag räknar med den röd markerade triangeln. På just den bilden ser jag 2 st trianglar. Den som smaragdalena beskriver verkar vara den andra som jag inte har markerat på bild. Då är höjden 2 och basen 5
Oj, den tredje sidan var x-axeln, inte y-axeln som jag räknade med. Då stämmer inte min beräkning.
solskenet skrev:vilken triangel ska man räkna med? Jag räknar med den röd markerade triangeln
Ja det stämmer.
vad är det som stämmer? Vad är det som inte stämmer? Jag blir förvirrad nu
solskenet skrev:Första bilden visar att x värdet är 2 och y värdet dvs höjden är 1.
Andra bilden visar höjd 4 cm vilket är y värdet och en bas på 2.. Är tveksam gällande hur man avgör vad som är bas respektive höjd
Då räknar du endast med en del av triangeln (de rldmarkerade delarna). Även den delen till höger om linjen x = 2 ska få vara med (de grönmarkerade delarna).
Dina höjder är rätt men dina baser är alltså fel.
Tror att det ska vara så här
bild 1 är basen 2.5 och höjden 1. -> arean blir (2.5*1)/2=1.25ae
bild 2 är basen 10 och höjden 4.-> arean blir (10*4)/2=20ae
solskenet skrev:jag slarvade här.
bild 1 är basen 2.5 och höjden 1. -> arean blir (2.5*1)/2=1.25ae
bild 2 är basen 10 och höjden 4.-> arean blir (10*4)/2=20ae
Ja nu stämmer det! Bra att du är envis!
Ser du nu hur viktigt det var att rita en åtminstone grov skiss över linjerna och området du skulle areaberäkna?
Annars hade det varit jättesvårt att veta vilka sträckor du skulle välja till trianglarnas bas respektive höjd.
Jag skulle aldrig aldrig ge mig på att lösa en sån här uppgift utan att rita.
===========
Svar på din fråga om bas och höjd: Du kan fritt välja vilken av triangelns sidor som du använder som bas i beräkningarna. Höjden ska du sedan välja så att den blir vinkelrät mot basen och så att den når det hörn som är motstående basen.
Du hade alltså i detta fallet lika gärna kunnat använda AD som bas och CD som höjd (eller tvärtom). Men dessa sträckor hade varit lite svårare att längdberäkna eftersom du då dessutom hade behövt använda Pythagoras sats.
Jag har en fråga gällande hur man ska veta att man valt just den rätta triangeln.
Istället för att beräkna arean av den röd markerade triangeln skulle jag ju istället kunna använda mig av den triangeln som smaragdalena räknade med som hade höjd 2 och bas 5 i triangeln på bild 2. Varför hade det varit fel om man istället använde sig av den triangeln? Titta på den lila triangeln. Skulle man istället beräkna arean av den?
Nej.
Om du läser uppgiften igen så står det att triangeln begränsas av L1, L2 och x-axeln.
Den lila triangeln begränsas av L1, L2 och y-axeln.
Det står i texten att triangelns tredje sida är x-axeln. Därför var min lösning fel.
Jaha okej. Då förstår jag. Tack!!
solskenet skrev:Jaha okej. Då förstår jag. Tack!!
Bra. Ser du även varför det var så viktigt att göra en skiss?
Då kan man få en tydligare bild över hur uppgiften går att lösa samt hur man kan tänka.Det är som ett hjälpmedel
solskenet skrev:Då kan man få en tydligare bild över hur uppgiften går att lösa samt hur man kan tänka.Det är som ett hjälpmedel
Exakt. Därför uppmanar vi ofta frågarna att rita.