Bestäm verkan på en mängd

Jag antar att med $X_\sigma$ så menar de mängden av alla element som avbildas på sig själv av $\sigma$. Så det gäller exempelvis att $X_{\rho_2} = \emptyset$ eftersom det inte finns någon punkt som avbildas på sig själv av rotationen.

okej men borde då inte rotationen ${\rho }_4$ avbildas på sig själv då man roterar fyra gånger kommer man väl tillbaka till ursprunget?

Om jag har förstått notationen korrekt så roterar $\rho_4$ så att punkt 1 hamnar på punkt 4, det är alltså en rotation på tre steg.

okej så om vi hade haft ${\rho }_5$ hade vi fått tillbaka en avbildning på sig själv. Om man ser på speglingen har vi väl då att udda antal speglingar inte får tillbaka sin ursprungsbild men här blir det tvärtom, speglar man X en gång så ger det svaret 1,3 vilket jag inte förstår

Fast alltså du måste ju kolla upp notationen så du är med på den.

Som jag tolkar detta så måste ju $\mu_1$ vara den som speglar längs linjen som går genom punkterna 1 och 3, dvs bara 2 och 4 byter plats, så 1 och 3 är fix av denna spegling.

då förstår jag a uppgiften, men i b uppgiften vet jag inte hur man ska göra, svaret ska bli $G_1=G_3\{\epsilon ,{\mu }_1\}$ och $G_2=G_4=\left\{\epsilon ,{\mu }_3\right\}$

De element i $G_x$ är nog de element i $G$ som inte rör $x$.

Så exempelvis så $G_1$ kommer ha $\mu_1$ i sig, eftersom $\mu_1$ inte flyttar på 1. Sedan går du igenom vilka som flyttar 1 och de som gör det ska vara med i gruppen.

Som jag förstår det har vi $G_1=G_3=\left\{\epsilon ,{\mu }_1\right\}$ då vi får både 1 och 3 avbildad genom det neutrala elementet eller med spegling av ${\mu }_1$

Liknande med $G_2=G_4=\left\{\epsilon ,{\mu }_3\right\}$ då vi får 2 och 4 avbildad på samma ställe genom det neutrala elementet samt genom spegling av ${\mu }_3$

Men varför ska vi inte ta med rotationen utan bara speglingen? 

Det finns ju ingen rotation som avbildar 1 på 1, eller 2 på 2 osv. Så du kommer inte få med någon rotation i någon av de där grupperna.