bestäm vektor med annan bas (linjär algebra och basbyten)

Vad betyder dina beteckningar? Är det ${\left[\overline{v}\right]}_B$ eller $\overline{v}$ som hör hemma i det ortonormerade koordinatsystemet? Min käre make och jag tolkade det på olika sätt.

Smaragdalena skrev:

Vad betyder dina beteckningar? Är det ${\left[\overline{v}\right]}_B$ eller $\overline{v}$ som hör hemma i det ortonormerade koordinatsystemet? Min käre make och jag tolkade det på olika sätt.

jaha okej okej, jag har dessvärre ingen aning faktiskt, såhär ser uppgiften ut. Kanske det svarade på frågan?

det är fråga b) som jag funderar på

Så som jag tolkar det är det den första metoden som är den korrekta - men det skall väl vara en 2:a i mitten av övre raden, inte en 1:a?

Jag läser det grafiskt och undersöker hur många förflyttningar i riktningen (1,1) respektive (2,3) det behövs för att komma från origo till punkten (1,-2). Jag börjar i origo och ritar en linje med riktningskoefficienten 1. Jag börjar i punkten (1,-2) och ritar en linje med lutning 3/2. De båda linjerna skär varandra i punkten (7,7). Då har jag gått 7 steg i riktning (1,1) och behöver gå -3 steg i riktning (2,3) för att komma från origo till den önskade punkten.

Den andra metoden motsvar att ta reda på var man hamnar om man tar 1 steg i riktning (1,1) och -2 steg i riktning (2,3). Då hamnar man i punkten (-3,-5).

Om vi har två baser A = {${\overrightarrow{a}}_1$, ${\overrightarrow{a}}_2$} och B = {${\overrightarrow{b}}_1$, ${\overrightarrow{b}}_2$} för ett vektorrum V så har vi en koordinattransformation enligt

${\left[\overrightarrow{v}\right]}_B$ = $T_{B/A}$${\left[\overrightarrow{v}\right]}_A$

Där $T_{B/A}$ är en transformationsmatris vars kolumner ges av 

Col_i($T_{B/A}$) = ${\left[{\overrightarrow{a}}_i\right]}_B$, i = 1, 2.

På samma sätt har vi en omvänd koordinattransformation

${\left[\overrightarrow{v}\right]}_A$ = $T_{A/B}$${\left[\overrightarrow{v}\right]}_B$

Där $T_{A/B}$ är en transformationsmatris vars kolumner på motsvarande sätt ges av

Col_i($T_{A/B}$) = ${\left[{\overrightarrow{b}}_i\right]}_A$, i = 1, 2.

Det är lätt att inse att $T_{B/A}$ och $T_{A/B}$ är varandras inverser, dvs $T_{B/A}$ =  ${\left(T_{A/B}\right)}^{-1}$.

Detta kan naturligtvis generaliseras till n-dimensionella vektorrum.

Om vi nu som specialfall låter V vara ${\mathrm{ℝ}}^2$ och A vara standardbasen för ${\mathrm{ℝ}}^2$. Notera att det medför något lite märkligt

${\left[\overrightarrow{v}\right]}_A$ = $\overrightarrow{v}$ för varje vektor $\overrightarrow{v}$ i ${\mathrm{ℝ}}^2$.

Så att $T_{A/B}$ = $\left[{\left[{\overrightarrow{b}}_1\right]}_A⋮{\left[{\overrightarrow{b}}_2\right]}_A\right]$ = $\left[\overrightarrow{b_1}⋮\overrightarrow{b_2}\right]$.

Vi kan därför skriva koordinattransformationen som

${\left[\overrightarrow{v}\right]}_B$ = ${\left[{\overrightarrow{b}}_1⋮{\overrightarrow{b}}_2\right]}^{-1}$$\overrightarrow{v}$.

Så din första ansats är rätt.

PATENTERAMERA skrev:

Om vi har två baser A = {${\overrightarrow{a}}_1$, ${\overrightarrow{a}}_2$} och B = {${\overrightarrow{b}}_1$, ${\overrightarrow{b}}_2$} för ett vektorrum V så har vi en koordinattransformation enligt

${\left[\overrightarrow{v}\right]}_B$ = $T_{B/A}$${\left[\overrightarrow{v}\right]}_A$

Där $T_{B/A}$ är en transformationsmatris vars kolumner ges av 

Col_i($T_{B/A}$) = ${\left[{\overrightarrow{a}}_i\right]}_B$, i = 1, 2.

På samma sätt har vi en omvänd koordinattransformation

${\left[\overrightarrow{v}\right]}_A$ = $T_{A/B}$${\left[\overrightarrow{v}\right]}_B$

Där $T_{A/B}$ är en transformationsmatris vars kolumner på motsvarande sätt ges av

Col_i($T_{A/B}$) = ${\left[{\overrightarrow{b}}_i\right]}_A$, i = 1, 2.

Det är lätt att inse att $T_{B/A}$ och $T_{A/B}$ är varandras inverser, dvs $T_{B/A}$ =  ${\left(T_{A/B}\right)}^{-1}$.

Detta kan naturligtvis generaliseras till n-dimensionella vektorrum.

Om vi nu som specialfall låter V vara ${\mathrm{ℝ}}^2$ och A vara standardbasen för ${\mathrm{ℝ}}^2$. Notera att det medför något lite märkligt

${\left[\overrightarrow{v}\right]}_A$ = $\overrightarrow{v}$ för varje vektor $\overrightarrow{v}$ i ${\mathrm{ℝ}}^2$.

Så att $T_{A/B}$ = $\left[{\left[{\overrightarrow{b}}_1\right]}_A⋮{\left[{\overrightarrow{b}}_2\right]}_A\right]$ = $\left[\overrightarrow{b_1}⋮\overrightarrow{b_2}\right]$.

Vi kan därför skriva koordinattransformationen som

${\left[\overrightarrow{v}\right]}_B$ = ${\left[{\overrightarrow{b}}_1⋮{\overrightarrow{b}}_2\right]}^{-1}$$\overrightarrow{v}$.

Så din första ansats är rätt.

så om man har en bas B och en vektor v och vill veta vad den vektorn v blir i bas B så löser man ekvationen:

$B{\left[\overline{v}\right]}_B=v$ ?

Maremare skrev:

PATENTERAMERA skrev:

Om vi har två baser A = {${\overrightarrow{a}}_1$, ${\overrightarrow{a}}_2$} och B = {${\overrightarrow{b}}_1$, ${\overrightarrow{b}}_2$} för ett vektorrum V så har vi en koordinattransformation enligt

${\left[\overrightarrow{v}\right]}_B$ = $T_{B/A}$${\left[\overrightarrow{v}\right]}_A$

Där $T_{B/A}$ är en transformationsmatris vars kolumner ges av 

Col_i($T_{B/A}$) = ${\left[{\overrightarrow{a}}_i\right]}_B$, i = 1, 2.

På samma sätt har vi en omvänd koordinattransformation

${\left[\overrightarrow{v}\right]}_A$ = $T_{A/B}$${\left[\overrightarrow{v}\right]}_B$

Där $T_{A/B}$ är en transformationsmatris vars kolumner på motsvarande sätt ges av

Col_i($T_{A/B}$) = ${\left[{\overrightarrow{b}}_i\right]}_A$, i = 1, 2.

Det är lätt att inse att $T_{B/A}$ och $T_{A/B}$ är varandras inverser, dvs $T_{B/A}$ =  ${\left(T_{A/B}\right)}^{-1}$.

Detta kan naturligtvis generaliseras till n-dimensionella vektorrum.

Om vi nu som specialfall låter V vara ${\mathrm{ℝ}}^2$ och A vara standardbasen för ${\mathrm{ℝ}}^2$. Notera att det medför något lite märkligt

${\left[\overrightarrow{v}\right]}_A$ = $\overrightarrow{v}$ för varje vektor $\overrightarrow{v}$ i ${\mathrm{ℝ}}^2$.

Så att $T_{A/B}$ = $\left[{\left[{\overrightarrow{b}}_1\right]}_A⋮{\left[{\overrightarrow{b}}_2\right]}_A\right]$ = $\left[\overrightarrow{b_1}⋮\overrightarrow{b_2}\right]$.

Vi kan därför skriva koordinattransformationen som

${\left[\overrightarrow{v}\right]}_B$ = ${\left[{\overrightarrow{b}}_1⋮{\overrightarrow{b}}_2\right]}^{-1}$$\overrightarrow{v}$.

Så din första ansats är rätt.

så om man har en bas B och en vektor v och vill veta vad den vektorn v blir i bas B så löser man ekvationen:

$B{\left[\overline{v}\right]}_B=v$ ?

Ja, om du med B menar en matris vars kolumner är basvektorerna i basen B - men som sagt detta är ett specialfall som gäller för ${\mathrm{ℝ}}^n$ och då den andra basen är standardbasen, i ett mer allmänt fall måste du känna till de generella formlerna (konstigt att de inte fanns med i lärobok).

PATENTERAMERA skrev:

Maremare skrev:

Visa föregående citat

PATENTERAMERA skrev:

Om vi har två baser A = {${\overrightarrow{a}}_1$, ${\overrightarrow{a}}_2$} och B = {${\overrightarrow{b}}_1$, ${\overrightarrow{b}}_2$} för ett vektorrum V så har vi en koordinattransformation enligt

${\left[\overrightarrow{v}\right]}_B$ = $T_{B/A}$${\left[\overrightarrow{v}\right]}_A$

Där $T_{B/A}$ är en transformationsmatris vars kolumner ges av 

Col_i($T_{B/A}$) = ${\left[{\overrightarrow{a}}_i\right]}_B$, i = 1, 2.

På samma sätt har vi en omvänd koordinattransformation

${\left[\overrightarrow{v}\right]}_A$ = $T_{A/B}$${\left[\overrightarrow{v}\right]}_B$

Där $T_{A/B}$ är en transformationsmatris vars kolumner på motsvarande sätt ges av

Col_i($T_{A/B}$) = ${\left[{\overrightarrow{b}}_i\right]}_A$, i = 1, 2.

Det är lätt att inse att $T_{B/A}$ och $T_{A/B}$ är varandras inverser, dvs $T_{B/A}$ =  ${\left(T_{A/B}\right)}^{-1}$.

Detta kan naturligtvis generaliseras till n-dimensionella vektorrum.

Om vi nu som specialfall låter V vara ${\mathrm{ℝ}}^2$ och A vara standardbasen för ${\mathrm{ℝ}}^2$. Notera att det medför något lite märkligt

${\left[\overrightarrow{v}\right]}_A$ = $\overrightarrow{v}$ för varje vektor $\overrightarrow{v}$ i ${\mathrm{ℝ}}^2$.

Så att $T_{A/B}$ = $\left[{\left[{\overrightarrow{b}}_1\right]}_A⋮{\left[{\overrightarrow{b}}_2\right]}_A\right]$ = $\left[\overrightarrow{b_1}⋮\overrightarrow{b_2}\right]$.

Vi kan därför skriva koordinattransformationen som

${\left[\overrightarrow{v}\right]}_B$ = ${\left[{\overrightarrow{b}}_1⋮{\overrightarrow{b}}_2\right]}^{-1}$$\overrightarrow{v}$.

Så din första ansats är rätt.

så om man har en bas B och en vektor v och vill veta vad den vektorn v blir i bas B så löser man ekvationen:

$B{\left[\overline{v}\right]}_B=v$ ?

Ja, om du med B menar en matris vars kolumner är basvektorerna i basen B - men som sagt detta är ett specialfall som gäller för ${\mathrm{ℝ}}^n$ och då den andra basen är standardbasen, i ett mer allmänt fall måste du känna till de generella formlerna (konstigt att de inte fanns med i lärobok).

yes okej

och om man hade matrisen B och vektorn i basen b och ville få reda på v så utför man bara muliplikation av B och vektorn i basen b?

Maremare skrev:

PATENTERAMERA skrev:

Visa föregående citat

Maremare skrev:

PATENTERAMERA skrev:

Om vi har två baser A = {${\overrightarrow{a}}_1$, ${\overrightarrow{a}}_2$} och B = {${\overrightarrow{b}}_1$, ${\overrightarrow{b}}_2$} för ett vektorrum V så har vi en koordinattransformation enligt

${\left[\overrightarrow{v}\right]}_B$ = $T_{B/A}$${\left[\overrightarrow{v}\right]}_A$

Där $T_{B/A}$ är en transformationsmatris vars kolumner ges av 

Col_i($T_{B/A}$) = ${\left[{\overrightarrow{a}}_i\right]}_B$, i = 1, 2.

På samma sätt har vi en omvänd koordinattransformation

${\left[\overrightarrow{v}\right]}_A$ = $T_{A/B}$${\left[\overrightarrow{v}\right]}_B$

Där $T_{A/B}$ är en transformationsmatris vars kolumner på motsvarande sätt ges av

Col_i($T_{A/B}$) = ${\left[{\overrightarrow{b}}_i\right]}_A$, i = 1, 2.

Det är lätt att inse att $T_{B/A}$ och $T_{A/B}$ är varandras inverser, dvs $T_{B/A}$ =  ${\left(T_{A/B}\right)}^{-1}$.

Detta kan naturligtvis generaliseras till n-dimensionella vektorrum.

Om vi nu som specialfall låter V vara ${\mathrm{ℝ}}^2$ och A vara standardbasen för ${\mathrm{ℝ}}^2$. Notera att det medför något lite märkligt

${\left[\overrightarrow{v}\right]}_A$ = $\overrightarrow{v}$ för varje vektor $\overrightarrow{v}$ i ${\mathrm{ℝ}}^2$.

Så att $T_{A/B}$ = $\left[{\left[{\overrightarrow{b}}_1\right]}_A⋮{\left[{\overrightarrow{b}}_2\right]}_A\right]$ = $\left[\overrightarrow{b_1}⋮\overrightarrow{b_2}\right]$.

Vi kan därför skriva koordinattransformationen som

${\left[\overrightarrow{v}\right]}_B$ = ${\left[{\overrightarrow{b}}_1⋮{\overrightarrow{b}}_2\right]}^{-1}$$\overrightarrow{v}$.

Så din första ansats är rätt.

så om man har en bas B och en vektor v och vill veta vad den vektorn v blir i bas B så löser man ekvationen:

$B{\left[\overline{v}\right]}_B=v$ ?

Ja, om du med B menar en matris vars kolumner är basvektorerna i basen B - men som sagt detta är ett specialfall som gäller för ${\mathrm{ℝ}}^n$ och då den andra basen är standardbasen, i ett mer allmänt fall måste du känna till de generella formlerna (konstigt att de inte fanns med i lärobok).

yes okej

och om man hade matrisen B och vektorn i basen b och ville få reda på v så utför man bara muliplikation av B och vektorn i basen b?

Korrekt.

PATENTERAMERA skrev:

Maremare skrev:

Visa föregående citat

PATENTERAMERA skrev:

Maremare skrev:

Visa föregående citat

PATENTERAMERA skrev:

Om vi har två baser A = {${\overrightarrow{a}}_1$, ${\overrightarrow{a}}_2$} och B = {${\overrightarrow{b}}_1$, ${\overrightarrow{b}}_2$} för ett vektorrum V så har vi en koordinattransformation enligt

${\left[\overrightarrow{v}\right]}_B$ = $T_{B/A}$${\left[\overrightarrow{v}\right]}_A$

Där $T_{B/A}$ är en transformationsmatris vars kolumner ges av 

Col_i($T_{B/A}$) = ${\left[{\overrightarrow{a}}_i\right]}_B$, i = 1, 2.

På samma sätt har vi en omvänd koordinattransformation

${\left[\overrightarrow{v}\right]}_A$ = $T_{A/B}$${\left[\overrightarrow{v}\right]}_B$

Där $T_{A/B}$ är en transformationsmatris vars kolumner på motsvarande sätt ges av

Col_i($T_{A/B}$) = ${\left[{\overrightarrow{b}}_i\right]}_A$, i = 1, 2.

Det är lätt att inse att $T_{B/A}$ och $T_{A/B}$ är varandras inverser, dvs $T_{B/A}$ =  ${\left(T_{A/B}\right)}^{-1}$.

Detta kan naturligtvis generaliseras till n-dimensionella vektorrum.

Om vi nu som specialfall låter V vara ${\mathrm{ℝ}}^2$ och A vara standardbasen för ${\mathrm{ℝ}}^2$. Notera att det medför något lite märkligt

${\left[\overrightarrow{v}\right]}_A$ = $\overrightarrow{v}$ för varje vektor $\overrightarrow{v}$ i ${\mathrm{ℝ}}^2$.

Så att $T_{A/B}$ = $\left[{\left[{\overrightarrow{b}}_1\right]}_A⋮{\left[{\overrightarrow{b}}_2\right]}_A\right]$ = $\left[\overrightarrow{b_1}⋮\overrightarrow{b_2}\right]$.

Vi kan därför skriva koordinattransformationen som

${\left[\overrightarrow{v}\right]}_B$ = ${\left[{\overrightarrow{b}}_1⋮{\overrightarrow{b}}_2\right]}^{-1}$$\overrightarrow{v}$.

Så din första ansats är rätt.

så om man har en bas B och en vektor v och vill veta vad den vektorn v blir i bas B så löser man ekvationen:

$B{\left[\overline{v}\right]}_B=v$ ?

Ja, om du med B menar en matris vars kolumner är basvektorerna i basen B - men som sagt detta är ett specialfall som gäller för ${\mathrm{ℝ}}^n$ och då den andra basen är standardbasen, i ett mer allmänt fall måste du känna till de generella formlerna (konstigt att de inte fanns med i lärobok).

yes okej

och om man hade matrisen B och vektorn i basen b och ville få reda på v så utför man bara muliplikation av B och vektorn i basen b?

Korrekt.

okej tusen tack!