Bestäm värdet på k

Hej!

Klurig uppgift. Det viktiga är att du får förståelse för räta linjens ekvation. Att k-värdet motsvarar lutningen och m-värdet vid vilket värde linjen skär y-axeln. Här vet du alltså att en linje skär y-axeln vid y=1 och att dess lutning k=2. Den linjen sitter fast. Den andra linjen skär y-axeln vid y=-3 och sedan ska du ta fram olika k-värden så att den skär första linjen i önskad kvadrant. Tänk dig att du har en linje som skär y-axeln i y=-3 men som går att vrida i den punkten. Alltså, vilken lutning ska man ha?

a) Tror du tänker rätt men din lösning ska vara koordinaterna för en punkt, inte bara ett y-värde.

b) 3:e kvadranten alltså. Om k=2 så blir linjen parallell med den första linjen och de skär aldrig varandra. Med k>2 får vi en brantare lutning och linjerna skär varandra i 1:a kvadranten. k<2 ger oss alltså tredje kvadranten. Men med väldigt lågt k-värde så kommer linjen peka snett ner åt höger. Vid ett visst värde så brant att skärningen med första linjen sker i 2:a kvadranten. Du försöker räkna ut k-värdet då detta sker men är lite slarvig. Rita i större skala så blir det lättare. Dessutom, om du ska använda två punkter så ta de två du vet, (-0.5, 0) och (0, -3).

c) Har du klarat b så kommer du säkert förstå denna också. Vad händer om k är ett stort negativt tal?

Jag är osäker på hur jag ska tänka i uppgift b och c.

b) Jag har räknat fram att k värdet av den nya linjen ska vara -6 . K värdet av den andra linjen är 2. Om k är större än minus 6 då kmr grafen att luta sig mer neråt och skära den tredjekvadranten. Men då måste k vara mindre än 2 så att linjerna inte blir parallella. 

c) 

Här tänker jag tvärtom. Om k är mindre än -6 då kommer graferna skära varandra istället i den andra kvadraten får ju mindre k värde desto ”rakare” kommer linjen att stå. Linjen åker alltså mot andra kvadraten. Men här tänker jag på hur det ska bli med k värdet ”2”. K måste ju vara större för att inte bli parallell med linjen y=2x+1

En knepig uppgift, som bengali skriver. Jag lägger in en bild, förklaringar längre ner. Föreslår ett sätt att tänka.

Den röda linjen är y= 2x+1. Vi vet också att den andra (blå) linjen ska gå genom punkten 0,-3.

uppgift a) Vi räknar med att k=1 på den blå linjen, alltså y=x-3. Skärningspunkten mellan linjerna är nere till vänster. Så svaret ska vara (x,y), inte bara ett y-värde.

uppgift b) Det finns många olika k-värden som som gör att y=kx-3 skär den röda linjen i 3:e kvadranten. Jag ritade ut två, se de blåa linjerna. En gräns är om k-värdet = 2. Då är de röda och blå linjerna parallella och möts aldrig. Men minskas k-värdet något möts de i 3:e kvadranten, så ett villkor är att k-värdet <2.

Titta på punkt a i bilden. Den ligger på den röda linjen, precis på x-linjen. Om linjerna korsas nedanför den linjen, så möts de i den 3:e kvadranten. Kan du räkna ut vilka koordinater punkten a har? Då känner du två punkter på den blåa linjen och kan räka ut k-värdet på den blå linjen.

uppgift c) Titta på punkt b i bilden. Den ligger på den röda linjen, precis på y-linjen. Om linjerna ska korsas i den 2:a kvadranten, måste linjen genom 0,-3 även passera mellan punkterna a och b. Jag ritade ett exempel med en grön linje. Kan du räkna ut vilka koordinater punkt b har?  Då känner du två punkter på den gröna linjen och kan räkna ut k-värdet på den gröna linjen även genom punkt b.

Sten skrev:

En knepig uppgift, som bengali skriver. Jag lägger in en bild, förklaringar längre ner. Föreslår ett sätt att tänka.

Den röda linjen är y= 2x+1. Vi vet också att den andra (blå) linjen ska gå genom punkten 0,-3.

uppgift a) Vi räknar med att k=1 på den blå linjen, alltså y=x-3. Skärningspunkten mellan linjerna är nere till vänster. Så svaret ska vara (x,y), inte bara ett y-värde.

uppgift b) Det finns många olika k-värden som som gör att y=kx-3 skär den röda linjen i 3:e kvadranten. Jag ritade ut två, se de blåa linjerna. En gräns är om k-värdet = 2. Då är de röda och blå linjerna parallella och möts aldrig. Men minskas k-värdet något möts de i 3:e kvadranten, så ett villkor är att k-värdet <2.

Titta på punkt a i bilden. Den ligger på den röda linjen, precis på x-linjen. Om linjerna korsas nedanför den linjen, så möts de i den 3:e kvadranten. Kan du räkna ut vilka koordinater punkten a har? Då känner du två punkter på den blåa linjen och kan räka ut k-värdet på den blå linjen.

uppgift c) Titta på punkt b i bilden. Den ligger på den röda linjen, precis på y-linjen. Om linjerna ska korsas i den 2:a kvadranten, måste linjen genom 0,-3 även passera mellan punkterna a och b. Jag ritade ett exempel med en grön linje. Kan du räkna ut vilka koordinater punkt b har?  Då känner du två punkter på den gröna linjen och kan räkna ut k-värdet på den gröna linjen även genom punkt b.

Jag har tänkt precis som du skrev, men jag är osäker om jag har tänkt rätt.... Den gröna linjen har k värdet -6. Jag använde mig av punkterna (0,-3) och (-0,5 , 0) . Mitt villkor/ svar i b uppgiften var att  k>-6 men 2  >k 

Jo, du tänker rätt. Svaret på b) är rätt: -6 < k < 2 Linjen som går mellan (0,-3) och punkt a (-0.5;0) har k-värdet = -6.

I c är villkoret att k < -6, ifall jag inte tänker helt fel.

Punkt b  på linjen y = 2x+1 har värdet (0,1). Linjen som går mellan (0,-3) och (0,1) har funktionen y=0.

Det går inte att räkna ut k-värdet för gröna linjen i punkt b med (y(2) - y(1)) dividerat med (x(2) - x(1)), eftersom nämnaren blir 0 minus 0. Men går man bara ett jättelitet steg till vänster på linjen y = 2x + 1, så skär linjerna varandra i 2:a kvadranten och k blir ett jättestort negativt tal.

Okej...Men hur kan svaret i c bara att k< -6?

solskenet skrev:

Okej...Men hur kan svaret i c bara att k< -6?

Anrat att du menar vara, inte bara.

Vad är det du inte förstår?

Ja menar ”vara”. 

Jag förstår inte varför k ska vara < -6 i c uppgiften 

Vet du var den andra kvadranten är?

Kan du rita ett exempel på en linje som skär den röda linjen i andra kvadranten?

-------

EDIT - kommer du ihåg "linjalmetoden" som vi pratade om i ett par av dina tidigare frågor?

Den går alldeles utmärkt att använda här.

Ja, jag vet vart andra kvadranten ligger. Jag har försökt använda mig av ”linjalmetoden” men det funkar ej

solskenet skrev:

Ja, jag vet vart andra kvadranten ligger. Jag har försökt använda mig av ”linjalmetoden” men det funkar ej

Visa då hur du har försökt.

Kan du rita ett exemoel på en linje som korsar den röda linjen i kvadrat 2? Inte räkna, bara rita.

Bra! 
När korsar en sån linje precis den röda linjen i kvadrat 2? Om du tar linjalen och börjar som den gröna linjen och så snurrar du linjalen medsols (som klockan går) När händer det första gången att den "korsar den röda i kvadrant  2"?  Kom ihåg att m för den gröna linjen är fast. 
Sen snurra vidare och bestäm när den sista gången "korsar den röda linjen" om du snurrar vidare. 

Det var nog meningen att du skulle ha med den röda linjen och att din nya linje ska gå genom (0, -3) som förut.

Laguna skrev:

Det var nog meningen att du skulle ha med den röda linjen och att din nya linje ska gå genom (0, -3) som förut.

Ja det var meningen. Jag var otydlig inser jag nu.

Jag försöker igen:

Kan du rita ett exempel på en linje som går genom (0,-3) och korsar den givna röda linjen y = 2x + 1 i andra kvadranten?

Steg 1) Rita ett koordinatsystemet ✅

Steg 2) pricka in (0,-3) ✅

Steg 3) Rita grafen y=2x+1 ✅

steg 4) Rita en annan linje som går igenom punkten (0,-3) och skär grafen y=2x+1 i andra kvadranten ✅

 Vad blir nästa steg? (Obs, det är endast c uppgiften jag behöver ha hjälp med) B uppgiften är löst. 

Tunnisen skrev:

Bra! 
När korsar en sån linje precis den röda linjen i kvadrat 2? Om du tar linjalen och börjar som den gröna linjen och så snurrar du linjalen medsols (som klockan går) När händer det första gången att den "korsar den röda i kvadrant  2"?  Kom ihåg att m för den gröna linjen är fast. 
Sen snurra vidare och bestäm när den sista gången "korsar den röda linjen" om du snurrar vidare. 

Känns som om tråden har tappats bort så jag skriver. 
Nu har du ritat: 
"När händer det första gången att den "korsar den röda i kvadrant  2"?  Kom ihåg att m för den gröna linjen är fast. "

Nästa steg är 

"Sen snurra vidare och bestäm när den sista gången "korsar den röda linjen" om du snurrar vidare. "
Ok?

När k blir mindre än -6 då kommer den korsa andra kvadranten 

OK, betyder det alltså att du förstår varför svaret på c-frågan är k < -6?

Inte direkt. Om k<-6 kan den ju lika väl skära i första kvadranten eller 4:de

solskenet skrev:

Inte direkt. Om k<-6 kan den ju lika väl skära i första kvadranten eller 4:de

Nej det kan den inte. Om k < -6 så kommer linjen att luta ännu brantare nedåt.

Tag t.ex. k = -14. Hur ser linjen ut då? Och var skär linjerna varandra då?

-------

Om du ändå håller fast vid ditt påstående så vill jag att du visar ett exempel på en linje som går genom (0,-3), har en lutning k < -6 och som korsar den röda linjen y = 2x + 1 i första eller fjärde kvadranten.

Kanske kan problemet bero på ett missförstånd eller en sammanblandning av olika sätt att se på k-värdet.

Vi kan titta på påståendet: k<-6.
Talen -7, -100 och -99999 uppfyller alla villkoret k<-6. Men -5 gör det inte.

Ett k-värde består av ett tecken (+ eller -) och ett tal, men +-tecknet brukar inte skrivas ut.
+ framför talet betyder att linjen lutar uppåt,
- framför talet betyder att linjen lutar neråt.
Men vill man se hur brant lutningen är, så tittar man på det värde k har (oberoende av tecken).
Ju större talet är, oberoende av tecken, desto brantare är linjen.
Ibland talar man om "absolutbelopp" när man är intresserad av storleken av ett tal, oberoende av tecken.
Men det kanske kommer i Matte 3.

Så om vi går tillbaka till påståendet k<-6, så ser du att alla tillåtna värden på k har ett minustecken först och ett tal som är större tal än 6. Det vill säga linjen är brantare än för k=-6.
Tänk också på att linjen vi ska beräkna k-värdet för, måste passera (0,-3)

alltså, så länge k värdet är mindre än -6 så kommer linjen alltid att skära den andra linjen i den andrakvadranten

Hur kan man ta reda/undersöka om det stämmer? Kan man tex välja några k värden som man undersöker? Ju större k värdet är desto ”rakare uppåt | blir linjen” ... Ju mindre k värde desto rakare nedåt - blir grafen.

——

Jag tycker inte att man tydligt kan se vart linjerna skär varandra. Så här ser min bild ut. 

Bästa sättet att undersöka skärningen är kanske att titta på punkt a i min tidigare bild från igår.

I punkten x=-0.5;0 möts linjerna precis på x-axeln, mellan andra och tredje kvadranten. Men att testa olika k-värden är inte fel, det kan ge bra känsla för hur lösningen bör vara även om den inte blir exakt.

Då har linjen genom (0,-3) exakt k-värdet = -6: y=-6x-3.

Med ett mindre k-värde, ex. -6.1, så hamnar skärningen mellan linjerna aningen högre, in i andra kvadranten.

Med ett större k-värde, ex. -5.9, så hamnar skärningen mellan linjerna aningen lägre, in i tredje kvadranten.

Jag tror att du menar rätt med påståendet, men det kan tolkas fel: "Ju större k värdet är desto ”rakare uppåt | blir linjen” ... Ju mindre k värde desto rakare nedåt - blir grafen."

Jag skulle nog i stället säga ungefär (kan nog formuleras bättre): "Ju större talet i k-värdet är (oberoende av tecknet) desto brantare blir linjen, ... Ju mindre talet i k-värdet är (oberoende av tecknet) desto planare blir linjen. Tecknet avgör om linjen lutar uppåt (+) eller neråt (-)".

solskenet skrev:

alltså, så länge k värdet är mindre än -6 så kommer linjen alltid att skära den andra linjen i den andrakvadranten

Ja det stämmer.

Hur kan man ta reda/undersöka om det stämmer?

Du kan bestämma villkoren på k-värdet algebraiskt på följande sätt.

Linjerna y = 2x+1 och y = kx-3 skär varandra då 2x+1 = kx-3. Vi löser ut x ur den ekvationen:

kx-2x = 4

x(k-2) = 4

x = 4/(k-2)

För att skärningspunkten ska ligga i andra kvadranten så måste x < 0, vilket innebär att 4/(k-2) < 0, vilket innebär att k < 2.

Skärningspunktens y-koordinat är 2x+1.

För att skärningspunkten ska ligga i andra kvadranten så måste y > 0, vilket innebär att 2x+1 > 0, dvs x > -1/2.

Tillsammans med villkoret x < 0 får vi -1/2 < x < 0.

Eftersom x = 4/(k-2) så får vi följande villkor på k för att skärningspunkten ska hamna i andra kvadranten:

-1/2 < 4/(k-2) < 0

Multiplicera med k-2. Eftersom k-2 < 0 så måste vi vända på olikhetstecknen:

-(k-2)/2 > 4 > 0

Multiplicera med 2:

-(k-2) > 8 > 0

-k+2 > 8 > 0

-k > 6 > -2

Multiplicera med -1, vi får vända på olikhetstecknen igen:

k < -6 < 2

Vi har alltså kommit fram till att skärningspunkten ligger i andra kvadranten om k < -6.

Vill börja med att ställa några frågor ,

• är detta en generell metod som kan användas i alla liknande frågor? 
  
  
• hur fick du att kx-2x=4 (varför tog du kx-2x på ena sidan och 4 på andra sidan? 
  
  
• Kan du ge exempel på liknande frågor som kan lösas med hjälp av samma metod? 

solskenet skrev:

Vill börja med att ställa några frågor ,

• är detta en generell metod som kan användas i alla liknande frågor? 

Ja, den går att använda på liknande frågor.

• hur fick du att kx-2x=4 (varför tog du kx-2x på ena sidan och 4 på andra sidan? 

Jag ville lösa ut x (dvs få x ensamt på ena sidan), så att jag kunde använda det uttrycket i ett senare skede.

• Kan du ge exempel på liknande frågor som kan lösas med hjälp av samma metod? 

Ja, här är en lite enklare uppgift som låter sig lösas med samma metod:

Bestäm de värden på k som gör att linjen som går genom punkten (0, -12) skär linjen y = 8 - x i första kvadranten.

Tack så mycket!  Sisa fråga : vad händer med tvåan? I uttryckt står det att k>-6<2 ..? ”k < -6 < 2” . Vad betyder tvåan i frågan? Varför tas den inte med i vårt svar?

Uttrycket k < -6 < 2 kan uttalas "k är mindre än minus sex, som är mindre än två" och är bara ett annat sätt att skriva att båda olikheterna k < -6 och -6 < 2 ska vara/är uppfyllda.

Den sista olikheten är trivialt uppfylld, oavsett vd k har för värde, vilket betyder att den inte ger oss någon mer precisering av vilka värden k kan anta. Därför behöver vi inte heller skriva med den i svaret.

Vad händer om svaret istället hade sett ut så här 

 -6  > k> 2 

Då skulle tvåan eller -6 tas med. Kan du ge ett exempel på när svaret kan bli tex  2 >k > 1

 -6  > k> 2 är en orimlig regel. Det betyder att k ska vara större än +2, och då kan k inte samtidigt vara mindre än -6.

Men -6 < k < 2 är en rimlig kombination.

Jag skulle rekommendera att du använder "<" så ofta som möjligt i stället för ">". Det är lättare att läsa eftersom man i tallinjen har lägre tal till vänster och högre tal till höger.

solskenet skrev:

[...]

Kan du ge ett exempel på när svaret kan bli tex  2 >k > 1

Ja. "För vilka värden på k gäller att uttrycket (k-1)(k-2) är mindre än 0?"

Jag kommer fram till svaret k< -6 < 2 i b uppgiften. Hur kan det komma sig att svaren är exakt lika? Tror att jag har gjort ngt fel i uträkningen på b uppgiften. 

Du har skrivit att x < 0 och att y > 0.

Det gäller i andra kvadranten, inte i tredje.

I tredje kvadranten gäller att x < 0 och y < 0.

Då förstår jag felet. Men är själva metoden rätt använd? Jag har satt in fel tal med har jag använt mig av din metod rätt?

solskenet skrev:

Då förstår jag felet. Men är själva metoden rätt använd? Jag har satt in fel tal med har jag använt mig av din metod rätt?

Det är rätt till en början.

Men när du multiplicerar olikheten med k-2 måste du ha med ett resonemang kring huruvida k-2 är positivt ellet negativt, dvs om k är större än eller mindre än 2.

För om du multiplicerar en olikhet med ett negativt tal så måste du även vända på olikhetstecknet.

Över huvud taget så saknar jag att du med ord beskriver vad du gör och varför. Jag tror att det kan vara svårt för en läsare att hänga med i tankegångarna.

Försök att skriva förklaringar längs med vägen, ungefär som jag har gjort här.

Så om k<2 då måste man vända på olikhetstecknet 

Om k < 2 så är k-2 < 0 och om du då multiplicerar olikheten med k-2 så måste du vända på olikhetstecknen, ja.

Hur ska man veta vad k är? Tänk om k är ett positivt tal eller negativt? 

Det vet du inte och det är ju värdet på $k$ som du ska ta reda på.

Du kan dela upp det i tre fall och lösa varje fall var för sig, så här:

Du har olikheterna $0>\frac{4}{k-2}>-\frac{1}{2}$

Nu finns det tre möjligheter: $k>2$, $k=2$ och $k<2$. Vi undersöker varje möjlighet var för sig:

Fall 1: $k>2$

Då är nämnaren $k-2$ större än $0$ och vi kan multiplicera med den utan att byta olikhetstecknen. Vi får då $0>4>-\frac{1}{2}\cdot (k-2)$. Och så vidare ...

Fall 2: $k=2$

Då är nämnaren $k-2$ lika med $0$ och uttrycket $\frac{4}{k-2}$ är därmed odefinierat. Det betyder att ...

Fall 3: $k<2$

Då är nämnaren $k-2$ mindre än 0 och vi måste då byta olikhetstecknen när vi multiplicerar med den. Vi får då $0<4<-\frac{1}{2}\cdot (k-2)$. Och så vidare ...